答案 方便 code force color out ref pro 為什麽

CF1105C Ayoub and Lost Array

題意：
一個整數數組，滿足：
1. 長度為n
2. 所有元素都在[l, r]範圍內
3. 所有元素的和能被3整除
給出n, l, r (1 ≤ n ≤ 2*10^5,1 ≤ l ≤ r ≤ 10^9)
請找出符合條件的數組的個數，答案對 10^9 + 7取模

首先我們要處理出[l, r]中對3取模得結果分別為0，1，2的數的個數，在一個合乎要求的數組中，結果為1和2的數的個數必然一樣，由此就可以很方便地得到所有可能的組合的個數。但新的問題來了，由於可以選用相同的數，求出這些組合的排列數幾乎是一個不可能完成的任務（對我這種蒟蒻來說）。

換一種思路，我們一個數一個數地添，並把所有可能的情況都考慮進去：
設dp[i][j]表示有i個數，且它們的和對3取模結果為j的數組個數，數組num[i]中記錄了[l, r]中對3取模得結果為i的數的個數
顯然dp[1][j] = num[j]，隨後，向已有的數組的尾部添加新的數字，例如：
dp[i][0] = dp[i - 1][0] * num[0] + dp[i - 1][1] * num[2] + dp[i - 1][2] * num[1]
dp[i][1]和dp[i][2]的情況同理，遞推到n，dp[n][0]就是我們要的答案。

為什麽是添加到尾部？不能插入到某個數字前嗎？這樣做會不會漏情況？
實際上，插入到某個數字之前會帶來重復（會有另一個數被頂到尾部），舉個例子：現在前i - 1個數的和對3取模結果為1，要添加一個結果為2的數，即dp[i - 1][1] * num[2]，如果把它插入到前面，使一個對3取模結果為1的數被頂到了前面的話，顯然就與dp[i - 1][2] * num[1]的情況重復了，另外兩種情況同理。

附關鍵部分代碼，歡迎糾錯。

const int mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 2e5 + 5;
ll dp[maxn][3];//有i個數，且它們的和對3取模結果為j的數組個數
int main()
{
    //num[i]記錄了對3取模結果為i的數的個數
    dp[1][0] = num[0], dp[1][1] = num[1], dp[1][2] = num[2];
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        dp[i][0] = (dp[i - 1][0] * num[0]) % mod + (dp[i - 1
 
][1] * num[2]) % mod + (dp[i - 1][2] * num[1]) % mod;
        dp[i][0] %= mod;
        dp[i][1] = (dp[i - 1][0] * num[1]) % mod + (dp[i - 1][1] * num[0]) % mod + (dp[i - 1][2] * num[2]) % mod;
        dp[i][1] %= mod;
        dp[i][2] = (dp[i - 1][0] * num[2]) % mod + (dp[i - 1][1] * num[1]) % mod + (dp[i - 1][2] * num[0]) % mod;
        dp[i][2] %= mod;
    }
    cout << dp[n][0] << endl;
}

CF1105C Ayoub and Lost Array ——動態規劃