仿射密碼

原理

仿射密碼的加密函式是 E(x)=(ax+b)(modm)

，其中

• x表示明文按照某種編碼得到的數字
• a和 m互質
• m是編碼系統中字母的數目。

解密函式是 D(x)=a−1(x−b)(modm)

，其中 a−1 是 a 在 Zm

群的乘法逆元。

下面我們以 E(x)=(5x+8)mod26

函式為例子進行介紹，加密字串為 AFFINE CIPHER，這裡我們直接採用字母表26個字母作為編碼系統

其對應的加密結果是 IHHWVCSWFRCP。

對於解密過程，正常解密者具有a與b，可以計算得到 a−1為 21，

所以其解密函式是D(x)=21(x−8)(mod26)

，解密如下

 可以看出其特點在於只有 26 個英文字母。

破解

首先，我們可以看到的是，仿射密碼對於任意兩個不同的字母，其最後得到的密文必然不一樣，所以其也具有最通用的特點。當密文長度足夠長時，我們可以使用頻率分析的方法來解決。

其次，我們可以考慮如何攻擊該密碼。可以看出當a=1

時，仿射加密是凱撒加密。而一般來說，我們利用仿射密碼時，其字符集都用的是字母表，一般只有26個字母，而不大於26的與26互素的個數一共有

ϕ(26)=ϕ(2)×ϕ(13)=12

算上b的偏移可能，一共有可能的金鑰空間大小也就是

12×26=312

一般來說，對於該種密碼，我們至少得是在已知部分明文的情況下才可以攻擊。下面進行簡單的分析。

這種密碼由兩種引數來控制，如果我們知道其中任意一個引數，那我們便可以很容易地快速列舉另外一個引數得到答案。

但是，假設我們已經知道採用的字母集，這裡假設為26個字母，我們還有另外一種解密方式，我們只需要知道兩個加密後的字母 y1,y2

即可進行解密。那麼我們還可以知道

y1=(ax1+b)(mod26)y2=(ax2+b)(mod26)

兩式相減，可得

y1−y2=a(x1−x2)(mod26)

這裡 y1,y2

已知，如果我們知道密文對應的兩個不一樣的字元 x1 與 x2 ，那麼我們就可以很容易得到 a ，進而就可以得到 b 了。

例子

這裡我們以TWCTF 2016 的 super_express為例進行介紹。簡單看一下給的原始碼

import sys
key = '****CENSORED***************'
flag = 'TWCTF{*******CENSORED********}'

if len(key) % 2 == 1:
    print("Key Length Error")
    sys.exit(1)

n = len(key) / 2
encrypted = ''
for c in flag:
    c = ord(c)
    for a, b in zip(key[0:n], key[n:2*n]):
        c = (ord(a) * c + ord(b)) % 251
    encrypted += '%02x' % c

print encrypted

可以發現，雖然對於 flag 中的每個字母都加密了 n 次，如果我們仔細分析的話，我們可以發現

c1=a1c+b1c2=a2c1+b2=a1a2c+a2b1c+b2=kc+d

根據第二行的推導，我們可以得到其實 cn

也是這樣的形式，可以看成 cn=xc+y

，並且，我們可以知道的是，key 是始終不變化的，所以說，其實這個就是仿射密碼。

此外，題目中還給出了密文以及部分部分密文對應的明文，那麼我們就很容易利用已知明文攻擊的方法來攻擊了，利用程式碼如下

import gmpy

key = '****CENSORED****************'
flag = 'TWCTF{*******CENSORED********}'

f = open('encrypted', 'r')
data = f.read().strip('\n')
encrypted = [int(data[i:i + 2], 16) for i in range(0, len(data), 2)]
plaindelta = ord(flag[1]) - ord(flag[0])
cipherdalte = encrypted[1] - encrypted[0]
a = gmpy.invert(plaindelta, 251) * cipherdalte % 251
b = (encrypted[0] - a * ord(flag[0])) % 251
a_inv = gmpy.invert(a, 251)
result = ""
for c in encrypted:
    result += chr((c - b) * a_inv % 251)
print result

結果如下:

➜  TWCTF2016-super_express git:(master) ✗ python exploit.py
TWCTF{Faster_Than_Shinkansen!}