多元函式的切向量和法向量
阿新 • • 發佈：2019-01-25
有一個很有啟發性的說法：考慮描述曲面的隱函式F(x,y,z)=0
其全微分dF=F'xdx+F'ydy+F'zdz=0
即（F'x，F'y，F'z）（dx,dy,dz）=0
（F'x，F'y，F'z）是曲線的法向量，（dx,dy,dz）則是曲線的切向量。
1 對曲面而言，求各變數在某一點的偏導數，即為這一點的法向量。
切向量我們假設以x為變數（引數），則切向量為（1,0,Zx)。以y為變數，則切向量為（0，1，Zy)。
驗證以x為引數的切向量（1，0，Zx）：因為Zx = -Fx/Fz，而法向量為（Fx,Fy,Fz)。所以 1*Fx + 0 * Fy + (-Fx/Fz) * Fz = 0，所以兩者正交，證畢。
其餘同理。
2 而對於平面曲線而言，我們可以考慮其為，缺少的那一維向量的無限延伸，這樣無論是封閉曲線還是不封閉曲線都可以抽象成一個曲面，這樣求各變數的在某一點的偏導數既為這一點的法向量。（內外法向加一個正負進行區分）
而平面曲線的切向量可以按照這種方法去考慮：把x看做變數，y為因變數，然後求y對x的偏導數，則切向量即為（1，Yx)。
3 對於空間曲線，只考慮兩個曲面給出一個方程組的形式。 F1(x,y,z) = 0, F2(x,y,z) = 0。
切線求法1：可以將x理解為自變數，y和z為x的因變數（自變數可以隨便去選），然後分別求因變數關於自變數的偏導數，然後得出一點的切線向量（1，Yx, Zx)。（三種形式）
切線求法2：求出兩個曲面的法向量，然後做差乘（向量積），結果也是切線向量。
求x^2-y+z^2=1和x+y^2+z=-1兩曲面的交線在p(-1,1,-1)處的切向量？
只需要讓兩個式子對x求導即可。因為我們需要知道（dx,dy,dz）與dx的關係。
聯立兩個方程 2x-dy/dz+2zdz/dx=0和1+2ydy/dx+dz/dx=0得到dy=0*dx dz=-1*dx
則切向量為（dx,0,-dx）---(1,0,-1)