讓我們考慮x軸上方的平滑曲線，如圖1左邊所示。當這條曲線繞x軸旋轉時，它會生成一個曲面。現在我們開始解決曲面的表面積問題。

圖1

為了更加清晰，我們首先考慮一個非常簡單的表面積，其底是半徑為r的圓錐，外側傾邊長為L。如果沿著頂點到底邊的方向切開圓錐，如圖2所示，那麼我們得到半徑為L圓的一部分，且曲線邊長為2πr。圓錐的側面積A等於這部分的面積。從幾何上可以明顯看出該部分與圓的面積比等於曲線長度與圓周長之比，即：

AπL2=2πr2πLsoA=πrL

圓錐的側面可以看做某條線繞著軸旋轉得到的。如果將公式寫成

A=L⋅2π(12r)

那麼我們將會看到圓錐的表面積等於線長乘以其中點掃過距離的乘積。

圖2

接下來，我們稍微擴充套件一下，求一條長為L的線段繞與它中點距離為r的軸旋轉得到表面積。錐外側的面積如圖3所示。如果我們用A表示它的面積，那麼A是圖中兩個圓錐表面積之差

A=πr1L1−πr2L2=π(r1L1−r2L2)

利用相似三角形的性質，很明顯

L2r2=L1r1orr1L2=r2L1

利用代數方法，我們可以將A寫成如下形式

A=π(r1L1−r1L2+r2L1−r−2L−2)=π[r1(L1−L2)+r2(L1−L2)]=π(L1−L2)(r1+r2)=(L1−L2)⋅2π(r1+r22)=L⋅2πr

對於這種情況，我們同樣得出表面積等於斜邊長度與中點繞軸旋轉距離的乘積。

圖3

我們現在將這些想法應用到開頭所說的常規區域問題上。我們的方法非常直觀且具有幾何意義。

我們用多條短線段來近似曲線y=f(x)(如圖4左邊所示)開始我們的討論。通過繞x軸旋轉曲線得到的曲面面積與多條短線段旋轉得到的曲面(如圖4中間)面積近似相等。側面顯然是由許多圓臺組成的，這個想法由圖4右邊說明。如果弧長元素ds繞x軸旋轉，那麼它生成的薄帶狀面積為dA；如果ds的中點與x軸的距離為y，那麼上面的討論告訴我們

dA=2πyds=2πy1+(dydx)2−−−−−−−−−√dx

圖4

通過對dA求和或積分可以求出曲面的總面積

A=∫dA=∫2πyds=∫ba

2πy1+(dydx)2−−−−−−−−−√dx

其中假設y是x的函式

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