預備知識

1.假設a,b為兩個向量，則a∙b=|a|∗|b|∗cosθ，其中θ為向量a、b的夾角。因此，當向量a,b的點乘為正數時，其幾何意義是這兩向量的夾角小於90度，為負數，夾角大於90度，為0，夾角等於90度；
2.某條曲線在某點的梯度方向與該點的切線方向垂直；

常用概念

設某約束極值問題中的目標函式為f(x)，約束條件為gi(x)≥0， hi(x)=0
1.非線性規劃的一般形式

⎧⎩⎨minf(x)hi(x)=0,gi(x)≥0,i=1,2,L,mj=1,2,L,l
或者
{minf(x)gj(x)≥0,j=1,2,L,l

2.起作用約束
設x∗為非線性規劃的一個可行解，當點x∗

不處在約束條件gi(x)≥0形成的可行域邊界上，即gi(x∗)>0時，我們稱該約束條件為點x∗的一個不起作用約束（無效約束），因為當我們對該點做微小的抖動的時候，並不會收到什麼影響；而當點x∗在約束條件gi(x)≥0形成的可行域邊界上時，即gi(x∗)=0時，我們稱該約束條件為點x∗的一個起作用約束，因為當我們對該點做微小的抖動時，該點會收到約束條件的限制。

3.可行下降方向

• 可行方向
  設x∗為非線性規劃的一個可行解，D為該點的一個方向，若存在實數λ0>0，使得對任意的λ∈[0,λ0]均有

  X∗+λD∈R則稱方向D為一個可行方向
  可行方向的必要條件：若D是可行點X∗處的任一可行方向，則對改點的所有起作用約束g
  i(X)≥0均有∇gi(X∗)TD≥0
  可行方向的充分條件：如果可行點X∗的某一方向D滿足條件∇gi(X∗)TD≥0，則該方向為該點的可行方向

• 下降方向
  設X∗為非線性規劃的一個可行解，D為該點的一個方向，若存在實數λ‘>0，使得對任意λ∈[0,λ‘]均有

  f(X∗+λD)<f(X∗)就稱方向D為X∗點的一個下降方向
  注：當目標函式f(X)在X∗點的一階泰勒展開滿足：∇f(X∗)T<0的方向D比為點X

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