常見的 排序演算法的時間複雜度：

                                              氣泡排序、插入排序、希爾排序、選擇排序的時間複雜度是O（n^2）；

                                              快速排序的時間複雜度是 O（n * log n）;

空間複雜度：

                                              氣泡排序、插入排序、希爾排序、選擇排序的空間複雜度是O（1）；

                                              快速排序的空間複雜度是 O（log n）;

常見的 查詢演算法的時間複雜度：

                        線性結構的查詢的時間複雜度，如 二分查詢（用於已經排好序的資料，如已序的陣列）；O(n)

                        非線性結構的查詢的時間複雜度，如 二叉查詢樹 ；O（log n）

排序類別  時間複雜度  空間複雜度  穩定 

1 插入排序  O(n2)              O(1)         √ 

2 希爾排序  O(n2)              O(1) 

3 氣泡排序 O(n2)               O(1)         √ 

4 選擇排序  O(n2)              O(1)         ×  

5 快速排序  O(Nlogn)      O(logn)     × 

6 堆排序  O(Nlogn)          O(1)          × 

7 歸併排序 O(Nlogn)        O(n)          √ 

氣泡排序、插入排序、歸併排序是穩定的，演算法時間複雜度是O(n ^2)；

選擇排序、快速排序、堆排序、希爾排序都是不穩定的；

一、 時間複雜度定義

定義：如果一個問題的規模是n，解這一問題的某一演算法所需要的時間為T(n)，它是n的某一函式T(n)稱為這一演算法的“時間複雜性”。

當輸入量n逐漸加大時，時間複雜性的極限情形稱為演算法的“漸近時間複雜性”。

二、大O表示法

我們常用大O表示法表示時間複雜性，注意它是某一個演算法的時間複雜性。大O表示只是說有上界，由定義如果f(n)=O(n)，那顯然成立f(n)=O(n^2)，它給你一個上界，但並不是上確界，但人們在表示的時候一般都習慣表示前者。此外，一個問題本身也有它的複雜性，如果某個演算法的複雜性到達了這個問題複雜性的下界，那就稱這樣的演算法是最佳演算法。

“大O記法" :在這種描述中使用的基本引數是n，即問題例項的規模，把複雜性或執行時間表達為n的函式。這裡的“O”表示量級(order)，比如說“二分檢索是O(logn)的”,也就是說它需要“通過logn量級的步驟去檢索一個規模為n的陣列”記法O ( f(n) )表示當n增大時，執行時間至多將以正比於f(n)的速度增長。

這種漸進估計對演算法的理論分析和大致比較是非常有價值的，但在實踐中細節也可能造成差異。例如，一個低附加代價的O(n2)演算法在n較小的情況下可能比一個高附加代價的O(nlogn)演算法執行得更快。當然，隨著n足夠大以後，具有較慢上升函式的演算法必然工作得更快。

O(1)
Temp=i;i=j;j=temp;                     
以上三條單個語句的頻度均為1，該程式段的執行時間是一個與問題規模n無關的常數。演算法的時間複雜度為常數階，記作T(n)=O(1)。如果演算法的執行時間不隨著問題規模n的增加而增長，即使演算法中有上千條語句，其執行時間也不過是一個較大的常數。此類演算法的時間複雜度是O(1)。

O(n^2)
2.1.交換i和j的內容
     sum=0；                （一次）
     for(i=1;i<=n;i++)      （n次）
        for(j=1;j<=n;j++)（n^2次）
          sum++；       （n^2次）
解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)

2.2.   
    for (i=1;i<n;i++)
    {
        y=y+1;        ①   
        for (j=0;j<=(2*n);j++)    
           x++;        ②      
    }          
解：  語句1的頻度是n-1
         語句2的頻度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1
          f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2
         該程式的時間複雜度T(n)=O(n^2).         

O(n)                                                           
2.3.
    a=0;
    b=1;                     ①
    for (i=1;i<=n;i++)②
    {  
      s=a+b;　　　　③
       b=a;　　　　　④  
       a=s;　　　　　⑤
    }
解：  語句1的頻度：2,        
          語句2的頻度：n,        
         語句3的頻度：n-1,        
         語句4的頻度：n-1,    
         語句5的頻度：n-1,                                  
          T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).

 O(log2n )
2.4.
     i=1;       ①
    while (i<=n)
       i=i*2;②
解：語句1的頻度是1,  
         設語句2的頻度是f(n),  則：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n    
         取最大值f(n)= log2n,
          T(n)=O(log2n )
O(n^3)
2.5.
    for(i=0;i<n;i++)
    {  
       for(j=0;j<i;j++)  
       {
          for(k=0;k<j;k++)
             x=x+2;  
       }
    }
解：當i=m, j=k的時候,內層迴圈的次數為k當i=m時, j可以取0,1,...,m-1 ,  所以這裡最內迴圈共進行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i從0取到n,則迴圈共進行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以時間複雜度為O(n^3).
                                   
我們還應該區分演算法的最壞情況的行為和期望行為。

如快速排序的最壞情況執行時間是O(n^2)，但期望時間是O(nlogn)。通過每次都仔細地選擇基準值，我們有可能把平方情況(即O(n^2)情況)的概率減小到幾乎等於0。在實際中，精心實現的快速排序一般都能以(O(nlogn)時間執行。

三、圖例

資料結構操作：

陣列排序演算法：

圖操作：

堆操作：

大o複雜度圖表：