目錄

敘述

若是奇質數且不能整除，則：

是模的二次剩餘當且僅當：

是模的非二次剩餘當且僅當：

以勒讓德符號表示，即為：

舉例

例子一：對於給定數，尋找其為二次剩餘的模數

令a = 17。對於怎樣的質數p，17是模p的二次剩餘呢？

根據判別法裡給出的準則，我們可以從小的質數開始檢驗。

首先測試p = 3。我們有：17^{(3 − 1)/2} = 17¹ ≡ 2 (mod 3) ≡ -1 (mod 3)，因此17不是模3的二次剩餘。

再來測試p = 13。我們有：17^{(13 − 1)/2} = 17⁶ ≡ 1 (mod 13)，因此17是模13的二次剩餘。實際上我們有：17 ≡ 4 (mod 13)，而2²

運用同餘性質和勒讓德符號可以加快檢驗速度。繼續算下去，可以得到：

對於質數p =，(17/p) = +1（也就是說17是模這些質數的二次剩餘）。

對於質數p =，(17/p) = -1（也就是說17是模這些質數的二次非剩餘）。

例子二：對指定的質數p，尋找其二次剩餘

哪些數是模17的二次剩餘？

我們可以手工計算：

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25 ≡ 8 (mod 17)

6² = 36 ≡ 2 (mod 17)

7² = 49 ≡ 15 (mod 17)

8² = 64 ≡ 13 (mod 17)

於是得到：所有模17的二次剩餘的集合是。要注意的是我們只需要算到8，因為9=17-8，9的平方與8的平方模17是同餘的：9²

但是對於驗證一個數是不是模17的二次剩餘，就不必將所有模17的二次剩餘全部算出。比如說要檢驗數字3是否是模17的二次剩餘，只需要計算3^{(17 − 1)/2} = 3⁸ ≡ 81² ≡ ( − 4)² ≡ − 1 (mod 17)，然後由尤拉準則判定3不是模17的二次剩餘。

尤拉準則與高斯引理以及二次互反律有關，並且在定義尤拉-雅可比偽素數（見偽素數）時會用到。

證明

首先，由於 是一個奇素數，由費馬小定理，。但是是一個偶數，所以有

是一個素數，所以 和 中必有一個是 的倍數。因此模的餘數必然是1或-1。

• 證明若
  是模的二次剩餘，則

若是模的二次剩餘，則存在 ，跟互質。根據費馬小定理得：

• 證明若，則是模的二次剩餘

是一個奇素數，所以關於的原根存在。設是的一個原根，則存在使得。於是