1. 問題描述
   n個元素依次進棧，共有多少種出棧順序？

2. 演算法分析
   1個元素進棧，有1種出棧順序；2個元素進棧，有2種出棧順序；3個元素進棧，有5種出棧順序
   我們把n個元素的出棧個數的記為f(n), 那麼對於1,2,3, 我們很容易得出：

                                f(1) = 1     //即 1
                                f(2) = 2     //即 12、21
                                f(3) = 5     //即 123、132、213、321、231
   

   然後我們來考慮f(4), 我們給4個元素編號為a,b,c,d, 那麼考慮：元素a只可能出現在1號位置，2號位置，3號位置和4號位置(很容易理解，一共就4個位置，比如abcd,元素a就在1號位置)。
   分析：

   1) 如果元素a在1號位置，那麼只可能a進棧，馬上出棧，此時還剩元素b、c、d等待操作，就是子問題f(3)；
   2) 如果元素a在2號位置，那麼一定有一個元素比a先出棧，即有f(1)種可能順序（只能是b），還剩c、d，即f(2)， 根據乘法原理，一共的順序個數為f(1) * f(2)；
   3) 如果元素a在3號位置，那麼一定有兩個元素比1先出棧，即有f(2)種可能順序（只能是b、c），還剩d，即f(1)，
   根據乘法原理，一共的順序個數為f(2) * f(1)；
   4) 如果元素a在4號位置，那麼一定是a先進棧，最後出棧，那麼元素b、c、d的出棧順序即是此小問題的解，即 f(3)；
   結合所有情況，即f(4) = f(3) + f(2) * f(1) + f(1) * f(2) + f(3);
   為了規整化，我們定義f(0) = 1；於是f(4)可以重新寫為：
   f(4) = f(0)f(3) + f(1)*f(2) + f(2)

   f(1) + f(3)*f(0)
   然後我們推廣到n，推廣思路和n=4時完全一樣，於是我們可以得到：
   f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + … + f(n-1)*f(0)
   即
   
   具體可以搜尋Catalan數

3. 程式程式碼

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    int* arr = new int[n+1];
    memset(arr, 0, sizeof
 
(int)*(n+1)); 
    arr[0] = 1;
    arr[1] = 1; 

    //遞推關係式 
    for (int i=2; i<=n; ++i)
    {
        for (int j=0; j<i; ++j)
        {
            arr[i] += arr[j] * arr[i-1-j]; 
        }
    }

    cout << arr[n] << endl;

    delete[] arr; 
    return 0;
}