定義1 線性相關：

$K_nK_n$中向量組$α_1,α_2,...,α_s(s\ge1)$稱為是線性相關的,如果$K$中有不全為0的$k_1,k_2,...,k_s$使得$k_1α_1+k_2α_2+...+k_sα_s=0$.

定義2 線性無關：

$K_n$中如果有向量組$α_1,α_2,...α_s(s\ge1)$

(s≥1)是線性無關的,那麼從式子$k_1α_1+k_2α_2+...+k_sα_s=0$中可以得到$k_1=k_2=...=k_s=0$.

線性相關與線性無關是線性代數中最基本的概念之一.

從以下幾個角度來考察線性相關的向量組與線性無關的向量組的本質區別：

1. 從線性組合來看:

如果向量組$α_1,α_2,...α_s(s\ge1)$線性相關
$\Leftrightarrow k_1α_1+k_2α_2+...+k_sα_s=0$

,其中$k_1,k_2,...,k_s$不全為0.
如果向量組$α_1,α_2,...α_s(s\ge1)$線性無關
$\Leftrightarrow k_1α_1+k_2α_2+...+k_sα_s=0$,其中$k_1=k_2=,...,=k_s=0$.

2. 從線性表出來看:

如果向量組${\alpha }_{}$

1,α2,...αs(s≥2)α_1,α_2,...α_s(s\ge2)線性相關
$\Leftrightarrow$其中至少有一個向量可以由其他向量線性表出.
如果向量組$α_1,α_2,...α_s(s\ge2)$線性無關
$\Leftrightarrow$其中每一個向量都不可以由其他向量線性表出.

3. 從齊次線性方程組來看:

如果列向量組$α_1,α_2,...α_s(s\ge1)$線性相關
$\Leftrightarrow$齊次線性方程組 $k_1α_1+k_2α_2+...+k_sα_s=0$有非零解.
如果列向量組$α_1,α_2,...α_s(s\ge1)$線性無關
$\Leftrightarrow$齊次線性方程組$k_1α_1+k_2α_2+...+k_sα_s=0$只有零解.

4. 從行列式來看:

若n個n維列(行)向量組$α_1,α_2,...,α_n$線性相關
$\Leftrightarrow$以$α_1,α_2,...,α_n$為列(行)向量組的矩陣的行列式等於零.
若n個n維列(行)向量組$α_1,α_2,...,α_n$線性無關
$\Leftrightarrow$以$α_1,α_2,...,α_n$為列(行)向量組的矩陣的行列式不等於零.

5. 從向量組線性表出的一個向量的方式來看:

若向量β可以由向量組$α_1,α_2,...α_s$

相關推薦