NOIP 普及組 T4 子矩陣(--洛谷P2258)
阿新 • • 發佈:2019-01-29
題目描述
輸出樣例#2:
給出如下定義:
- 子矩陣:從一個矩陣當中選取某些行和某些列交叉位置所組成的新矩陣(保持行與列的相對順序)被稱為原矩陣的一個子矩陣。
例如,下面左圖中選取第2、4行和第2、4、5列交叉位置的元素得到一個2*3的子矩陣如右圖所示。
9 3 3 3 9
9 4 8 7 4
1 7 4 6 6
6 8 5 6 9
7 4 5 6 1
的其中一個2*3的子矩陣是
4 7 4
8 6 9
-
相鄰的元素:矩陣中的某個元素與其上下左右四個元素(如果存在的話)是相鄰的。
- 矩陣的分值:矩陣中每一對相鄰元素之差的絕對值之和。
本題任務:給定一個n行m列的正整數矩陣,請你從這個矩陣中選出一個r行c列的子矩陣,使得這個子矩陣的分值最小,並輸出這個分值。
(本題目為2014NOIP普及T4)
輸入輸出格式
輸入格式:
第一行包含用空格隔開的四個整數n,m,r,c,意義如問題描述中所述,每兩個整數之間用一個空格隔開。
接下來的n行,每行包含m個用空格隔開的整數,用來表示問題描述中那個n行m列的矩陣。
輸出格式:
輸出共1行,包含1個整數,表示滿足題目描述的子矩陣的最小分值。
輸入輸出樣例
輸入樣例#1:5 5 2 3 9 3 3 3 9 9 4 8 7 4 1 7 4 6 6 6 8 5 6 9 7 4 5 6 1輸出樣例#1:
6輸入樣例#2:
7 7 3 3 7 7 7 6 2 10 5 5 8 8 2 1 6 2 2 9 5 5 6 1 7 7 9 3 6 1 7 8 1 9 1 4 7 8 8 10 5 9 1 1 8 10 1 3 1 5 4 8 6
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說明
【輸入輸出樣例1說明】
該矩陣中分值最小的2行3列的子矩陣由原矩陣的第4行、第5行與第1列、第3列、第4列交叉位置的元素組成,為
6 5 6
7 5 6
,其分值為
|6−5| + |5−6| + |7−5| + |5−6| + |6−7| + |5−5| + |6−6| =6。
【輸入輸出樣例2說明】
該矩陣中分值最小的3行3列的子矩陣由原矩陣的第4行、第5行、第6行與第2列、第6列、第7列交叉位置的元素組成,選取的分值最小的子矩陣為
9 7 8 9 8 8 5 8 10
【資料說明】
對於50%的資料,1 ≤ n ≤ 12,1 ≤ m ≤ 12,矩陣中的每個元素1 ≤ a[i][j] ≤ 20;
對於100%的資料,1 ≤ n ≤ 16,1 ≤ m ≤ 16,矩陣中的每個元素1 ≤ a[i][j] ≤ 1,000,
1 ≤ r ≤ n,1 ≤ c ≤ m。
1 我們可以看出 資料的n,m 只有16 2 3 那麼我們想到列舉選了哪r行和哪r列在列舉子矩陣 4 5 不過看一下複雜度 是O(C(n,r)*C(m,c)*r*c) 6 7 在兩個組合數相乘時就爆了 8 9 那麼我們可以從另一個角度來想 10 11 只列舉選了那幾行或哪幾列 大概就可以A掉了 12 13 雖然這個不是純列舉 卻是用列舉為DP做準備的 14 15 我們選出r行後再處理第 i 列和第 j 列之間的差值 16 和一列的列內差值 17 18 然後就DP好了 dp[i][k] 代表選了前i列選了k列 19 第i列強制選取 狀態轉移為 20 dp[i][k]=min(dp[i][k],dp[j][k-1]+cost[j][i]+val[i]); 21 cost[i][j] 代表若第i列與第j列相鄰的花費 22 val[i]代表 第i列列內的花費 23 24 最後取dp[i][c]
1 #include<cmath> 2 #include<cstdio> 3 #include<iostream> 4 #include<algorithm> 5 #define MAXN 20 6 7 using namespace std; 8 9 int a[MAXN][MAXN],n,m,r,c,ans; 10 11 int R[MAXN],cost[MAXN][MAXN],dp[MAXN][MAXN],val[MAXN]; 12 13 inline void read(int &x) { 14 int f=1;x=0;char c=getchar(); 15 while(c>'9'||c<'0') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();} 16 while(c>='0'&&c<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+c-48;c=getchar();} 17 x=x*f; 18 } 19 20 inline int DP() { 21 int ret=1e9; 22 for(int i=1;i<=m;i++) { //在第i列之間的數的差值之和 23 val[i]=0; 24 for(int j=1;j<r;j++) 25 val[i]+=abs(a[R[j]][i]-a[R[j+1]][i]); 26 } 27 28 for(int i=1;i<=m;i++) //處理在第i列與第j列之間 數的差值之和 29 for(int j=i+1;j<=m;j++) { 30 cost[i][j]=0; 31 for(int k=1;k<=r;k++) 32 cost[i][j]+=abs(a[R[k]][i]-a[R[k]][j]); 33 } 34 35 for(int i=1;i<=m;i++) //前i列之中 第i列強制選擇 36 for(int j=1;j<=i&&j<=c;j++) { //已經選了j列 37 dp[i][j]=1e9; 38 for(int k=j-1;k<i;k++) // 從j-1列開始 在第j-1列到第i列之中選第j列 再加上第i列的花費 39 dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[k][j-1]+cost[k][i]+val[i]); //在前k列中選取了j-1列 再選取第j列 40 } 41 42 for(int i=c;i<=m;i++) //在前i列中選了c列 43 ret=min(ret,dp[i][c]); 44 return ret; 45 } 46 47 inline void slect(int now,int cnt) {// 任意選取r行 48 if(now>n) { 49 if(cnt==r) ans=min(ans,DP()); 50 return; 51 } 52 slect(now+1,cnt); 53 R[cnt+1]=now; 54 slect(now+1,cnt+1); 55 return; 56 } 57 58 int main() { 59 read(n);read(m);read(r);read(c); 60 for(int i=1;i<=n;i++) 61 for(int j=1;j<=m;j++) 62 read(a[i][j]); 63 ans=1e9; 64 slect(1,0); 65 printf("%d\n",ans); 66 return 0; 67 }程式碼