非線性模型的線性化

1 小偏差線性化方法

實際問題一定都是非線性的, 但是我們利用數學方法簡化這種非線性模型為線性模型, 使得系統容易處理.

在它的平衡工作點附近, 它可以看成是線性的.

• uf和if之間具有非線性關係.
• 在A點附近uf與if, 近似滿足線性關係
  ΔUf=tanα0ΔIf

在數學上, 線性化的過程就是用泰勒公式在某一點展開的過程. 這個展開點的選取非常重要, 通常選取在系統平衡工作點附近, 這樣才滿足小偏差線性化的定義.

1.1 平衡點附近泰勒級數展開:

1. 將一個非線性函式y=f(x), 在其工作點(x0,y0)展開成泰勒級數.
   y=y(x0)+y˙(
   x0)(x−x0)+y¨(x0)(x−x0)2+...
2. 忽略二次以上高階項, 得到線性劃方程, 用來代替原來的非線性函式.
   y≈y(x0)+y˙(x0)(x−x0)
   所以可以寫成:
   y−y0=K(x−x0)
   其中: y0=y(x0), K=y˙(x0).
   

注意:

• 只有當(x−x0)非常小時, 即展開點在系統穩定工作點附近處, 忽略二階以後高階項才有意義.
• 選擇展開點不一樣, 線性化的結果也不一樣.
• 這是線性化的小偏差思想.