3.1 樹與樹的表示

3.1.1 引子：查詢

分層次組織在管理上具有更高的效率!

查找
1. 定義：
根據某個給定 關鍵字K ，從 集合R 中找出關鍵字與K 相同的記錄。

2.分類：
- 靜態查詢：集合中 記錄是固定 的；
- 動態查詢： 集合中 記錄是動態變化的。

3.靜態查詢的方法

• 方法1： 順序查詢（時間複雜度為O(n)）；
  //在陣列的頭部，建立哨兵和標記指針，可減少判斷的分支。
  

• 方法2：二分查詢(時間複雜度O(logN))。
  數據必須從小到大排列！
  

問：

在二分查詢中，我們是取mid等於left和right的中間值，即用等分的方法進行查詢。
那為什麼一定要等分吶？能不能進行“黃金分割”？也就是mid=left+0.618(right-left),當然mid要取整數。如果這樣查詢，時間複雜性是多少？也許你還可以程式設計做個試驗，比較一下二分法和“黃金分割”法的執行效率。

答：
二分法每次能有100%的概率能只剩50%的資料，每次剩下的期望為50%，即每次除以2。所以時間複雜度是:log2(N)。
而黃金分割的話每次都有0.618的概率剩0.618，0.382的概率剩0.382，每次剩下的期望為0.528，即1/0.528

=1.894。所以時間複雜度是:log1.894(N)=1.085∗log2(N)。

3.1.2 樹

1. 定義：n（n≥0）個結點構成的有限集合。
   
   • 當n=0 時，稱為 空樹 ；
   • 樹中有一個稱為“ 根（Root ） ”的特殊結點， 用 r 表示；
   • 其餘結點可分為m(m>0) 個 互不相交的 有限集，其中每個集合本身又是一棵樹，稱為原來樹的“ 子樹 （SubTree ）”。

2.樹的性質

• 子樹是 不相交 的 ；
• 除了根結點外， 每個結點有且僅有一個父結點 ；
• 一棵N 個結點的樹有N-1 條邊 。

3.樹的基本術語
樹是保證節點聯通的最小的一種聯通方式！

1. 結點的度（Degree ): 結點的 子樹個數；
2. 樹的度：樹的所有結點中最大的度數;
3. 葉結點 （Leaf）: 度為0 的結點；
4. 父結點 （Parent ）:有子樹的結點是其子樹的根結點的父結點；
5. 子結點 （Child ）：若A 結點是B 結點的父結點，則稱B 結點是A 結點的子結點；子結點也稱 孩子結點 ；
6. 兄弟結點 （Sibling ）：具有同一父結點的各結點彼此是兄弟結點;
7. 路徑和路徑長度：從結點n1 到nk的 路徑 為一個結點序列n1,n2,…,nk,ni是ni+1 的父結點。路徑所包含邊的個數為 路徑的長度 ;
8. 祖先結點(Ancestor) ：沿 樹根到某一結點路徑 上的所有結點都是這個結點的祖先結點;
9. 子孫結點(Descendant) ：某一結點的 子樹中的所有結點 是這個結點的子孫;
10. 結點的層次（Level）：規定 根結點在1 層 ，其它任一結點的層數是其父結點的層數加1;
11. 樹的深度（Depth） ：樹中所有結點中的 最大層次 是這棵樹的深 度。

4.樹的表示

兒子-兄弟表示法
所需的總空間為3N(N為節點數)。

問：
樹的集合稱為森林。是否也可以使用“兒子-兄弟”表示法儲存森林？如何實現？
答：
可以，不同樹的根節點看成是這棵樹的入口，各個樹之間可以看做是兄弟節點。

3.2 二叉樹及儲存結構

3.2.1 二叉樹

1. 二叉樹的定義

   定義：一個有窮的結點集合。

   • 這個集合 可以為空；
   • 若不為空，則它是由 根結點 和稱為其 左子樹TL 和 右子樹TR 的兩個不相交的二叉樹組成。

2. 特殊二叉樹

   

3. 二叉樹的性質

   • 一個二叉樹第 i層的最大結點數為：2i−1 ，i≥1 。
   • 深度為k的二叉樹有最大結點總數為： 2k

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