1.多項分佈的一次事件
隨機變數X有三種取值x1，x2，x3，那麼用一個三維向量表示多項式的取值就是{1,0,0}，{0,1,0}，{0,0,1}分別代表選中x1，x2，x3，即必須選中一個，同時只能選一個。如果用μk表示xk=1時的概率，那麼對於隨機變數x的取值的概率分佈可以表示為：

上面所講的這些其實只是多項分佈的一次事件（或一次觀察），如果有N多次觀察，那麼就需要用多項分佈來描述了。就像伯努利分佈只是描述一次拋硬幣，而二項分佈是描述N次拋硬幣的一樣。
2. N個獨立觀測的似然函式
現在考慮⼀個有N個獨⽴觀測值x1, … , xN的資料集D。對應的似然函式的形式為：
;
其中mk為觀測到xk = 1的次數。為找到µ的最⼤似然解，我們需要計算µk最⼤化ln p(D | µ)，同時限制：

因此：

將上式代入中得到：，所以
3.多項式分佈
我們可以考慮m1, … , mK在引數µ和觀測總數N條件下的聯合分佈。這個分佈的形式為：

其中：這 被 稱 為 多 項 式 分 布。