第一題比較好寫，複雜度是n³，但是第二題就需要用到四邊形不等式優化，把複雜度降為n²。

《演算法競賽入門經典訓練指南-劉汝佳》P170（老版）

書中在討論最優排序二叉樹時提到四邊形不等式優化方法。一般地，對於類似的狀態轉移方程：

    d[i,j] = max{ d[i,k−1] + d[k+1,j] } + w[i,j]

狀態有O(n² )個，每個決策有O(n)，因此時間複雜度為O(n³)。

下面把它優化到O(n²)。

四邊形不等式(Monge condition / Quadrangle inequality) 如果對於i ≤ i' < j ≤ j' 總有w[i,j] + w[i' ,j' ] ≤ w[i' ,j] + w[i ,j']，稱w滿足四邊形不等式，或w滿足凸性。

區間包含格上的單調性 如果對於i ≤ i' < j ≤ j' 總有w[i' ,j] ≤ w[ i , j' ]，稱w滿足單調性，也就是說對於兩個區間q1,q2（q2包含q1），w[q1] ≤ w[q2]。

定理(F.Yao)：若w滿足四邊形不等式，則d也滿足四邊形不等式，即

d[i,j] + d[i' ,j' ] ≤ d[ i' ,j] + d[ i ,j' ] , i ≤ i' ≤ j ≤ j'

證明略。

更進一步地，d的凸性可以推出決策單調性。記k[i,j]為讓d[i,j]取最小值的決策，有

定理(F.Yao)：k[i,j] ≤ k[i,j + 1] ≤ k[i + 1,j + 1], i ≤ j，即k在同行同列都是遞增的。

證明：由對稱性，只需證明k[i,j] ≤ k[i,j + 1]。記d_k[i,j] = d[i,k − 1] + d[k,j] +w[i,j]，則只需證明對所有的i < k ≤ k' ≤ j，如果d_k'[i,j] ≤ d_k [i,j]，那麼d_k' [i,j + 1] ≤d_k [i,j + 1]，即：區間加長一個單位後，以前較好的決策現在仍然好。事實上，可以證明一個更強的結論：d_k [i,j]−d _k'[i,j] ≤ d _k [i,j +1]−d_k' [i,j +1](i <k ≤ k' ≤ j)，因為當k'在[i,j]更優時，左邊≥0，由不等式知右邊≥0，因此k'仍更優。

如上圖，設k' 是[i,j]的最優值，則對於它左邊的任意k，k' 在[i,j]上更優意味著k' 在[i,j+1]上仍最優，因此k' 左邊的任意k在[i,j+1]上仍然不是最大值，即k[i,j + 1] ≥ k[i,j]。

欲證d_k [i,j] – d_k' [i,j] ≤ d_k [i,j + 1] – d_k' [i,j + 1](i < k ≤ k' ≤ j)，

移項得：d_k [i,j] +d_k' [i,j + 1] ≤ d_k [i,j + 1] + d_k' [i,j]。

按定義展開，兩邊消去w[i,j] + w[i,j + 1] + d[i,k −1] + d[i,k 0 − 1]得：

        d[k,j] + d[k' ,j + 1] ≤ d[k,j + 1] + d[k' ,j]

這就是d的凸性。

有了決策單調性，可以稍微改造一下程式，決策從k[i,j−1]列舉到k[i+1,j]即可。

這樣做時間複雜度降低了嗎？當L = j − 1固定時，

d[1,L + 1]的決策是k[1,L] ∼ k[2,L + 1]

d[2,L + 2]的決策是k[2,L + 1] ∼ k[3,L + 2]

d[3,L + 3]的決策是k[3,L + 2] ∼ k[4,L + 3]

d[4,L + 4]的決策是k[4,L + 3] ∼ k[5,L + 4]

...

合併起來，當L固定時總決策為k[1,L] ∼ k[n−L+1,n]，共O(n)個。由於L有O(n)，因此總時間複雜度降為O(n ² )。

擴充套件

以上所給出的狀態轉移方程只是一種比較一般的，其實，很多狀態轉移方程都滿足四邊形不等式優化的條件。

解決這類問題的大概步驟是：

1. 證明w滿足四邊形不等式，這裡w是m的附屬量，形如m[i,j]=opt{m[i,k]+m[k,j]+w[i,j]}，此時大多要先證明w滿足條件才能進一步證明m滿足條件
2. 證明m滿足四邊形不等式
3. 證明s[i,j-1]≤s[i,j]≤s[i+1,j]

不管m[i,j]=opt{m[i,k]+m[k,j]+w[i,j]}的opt是min還是max，每一步的決策從k[i,j−1]列舉到k[i+1,j]即可。這樣就能降低複雜度了。就51nod這道題來說，它的步驟也是如此。