蟠桃記

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Problem Description 喜歡西遊記的同學肯定都知道悟空偷吃蟠桃的故事，你們一定都覺得這猴子太鬧騰了，其實你們是有所不知：悟空是在研究一個數學問題！
什麼問題？他研究的問題是蟠桃一共有多少個！
不過，到最後，他還是沒能解決這個難題，呵呵^-^
當時的情況是這樣的：
第一天悟空吃掉桃子總數一半多一個，第二天又將剩下的桃子吃掉一半多一個，以後每天吃掉前一天剩下的一半多一個，到第n天準備吃的時候只剩下一個桃子。聰明的你，請幫悟空算一下，他第一天開始吃的時候桃子一共有多少個呢？

Input 輸入資料有多組，每組佔一行，包含一個正整數n（1<n<30），表示只剩下一個桃子的時候是在第n天發生的。
Output 對於每組輸入資料，輸出第一天開始吃的時候桃子的總數，每個測試例項佔一行。
Sample Input 2 4
Sample Output 4 22
Author lcy
Source

問題簡述

：參見上述連結。

問題分析：

  這是一個遞推問題，需要經過分析給出遞推式或遞推函式。只要有了遞推式或遞推函式問題就解決了。程式可以用遞迴函式實現，也可以用遞推計算實現。

  這裡給出的是遞推計算過程。一般而言，遞推計算過程的效率要優於遞迴。

  根據題意有f(n)/2-1 = f(n-1)，整理後f(n) = 2 * ( f(n-1) + 1 )，另外f(1)=1。這就是遞推關係。

程式說明：（略）。

題記：

  這個問題有似曾相識的感覺，參見：桃子到底有多少。還有很多這樣的問題，本質上是同一個問題。

AC的C語言程式如下：

/* HDU2013 蟠桃記 */

/*
 * 分析問題可以得出以下的遞推函式：
 * f(1) = 1                   n=1
 * f(n) = 2 * ( f(n-1) + 1 )  n>1
 *
 */

#include <stdio.h>

int peach(int n) {
    if(n == 1)
        return 1;
    else {
        long res = 1L;
        while(--n)
            res = 2 * (res + 1);
        return res;
    }
}

int main(void)
{
    int n;

    while(scanf("%d", &n) != EOF)
        printf("%d\n", peach(n));

    return 0;
}