Jacobian矩陣和Hessian矩陣

1. Jacobian

在向量分析中, 雅可比矩陣是一階偏導數以一定方式排列成的矩陣, 其行列式稱為雅可比行列式. 還有, 在代數幾何中, 代數曲線的雅可比量表示雅可比簇：伴隨該曲線的一個代數群, 曲線可以嵌入其中. 它們全部都以數學家卡爾·雅可比(Carl Jacob, 1804年10月4日－1851年2月18日)命名；英文雅可比量”Jacobian”可以發音為[ja ˈko bi ən]或者[ʤə ˈko bi ən].

雅可比矩陣

雅可比矩陣的重要性在於它體現了一個可微方程與給出點的最優線性逼近. 因此, 雅可比矩陣類似於多元函式的導數.

假設F:Rn→Rm是一個從歐式n維空間轉換到歐式m維空間的函式. 這個函式由m個實函式組成: y1(x1,…,xn), …, ym(x1,…,xn). 這些函式的偏導數(如果存在)可以組成一個m行n列的矩陣, 這就是所謂的雅可比矩陣：

⎡⎣⎢⎢⎢⎢∂y1∂x1⋮∂ym∂x1⋯⋱⋯∂y1∂xn⋮∂ym∂xn⎤⎦⎥⎥⎥⎥

此矩陣表示為: JF(x1,…,xn), 或者∂(y1,…,ym)∂(x1,…,xn).

這個矩陣的第i行是由梯度函式的轉置yi(i=1,…,m)表示的.

如果p是Rn中的一點,F在p點可微分, 那麼在這一點的導數由JF(p)給出(這是求該點導數最簡便的方法). 在此情況下, 由F

(p)描述的線性運算元即接近點p的F的最優線性逼近,x逼近於p:

F(x)≈F(p)+JF(p)⋅(x–p)

雅可比行列式

如果m = n, 那麼F是從n維空間到n維空間的函式, 且它的雅可比矩陣是一個方塊矩陣. 於是我們可以取它的行列式, 稱為雅可比行列式.

在某個給定點的雅可比行列式提供了 在接近該點時的表現的重要資訊. 例如, 如果連續可微函式F在p點的雅可比行列式不是零, 那麼它在該點附近具有反函式. 這稱為反函式定理. 更進一步, 如果p點的雅可比行列式是正數, 則F在p點的取向不變；如果是負數, 則F的取向相反. 而從雅可比行列式的絕對值, 就可以知道函式F

在p點的縮放因子；這就是為什麼它出現在換元積分法中.

對於取向問題可以這麼理解, 例如一個物體在平面上勻速運動, 如果施加一個正方向的力F, 即取向相同, 則加速運動, 類比於速度的導數加速度為正；如果施加一個反方向的力F, 即取向相反, 則減速運動, 類比於速度的導數加速度為負.

2. 海森Hessian矩陣

在數學中, 海森矩陣(Hessian matrix或Hessian)是一個自變數為向量的實值函式的二階偏導陣列成的方塊矩陣, 此函式如下：

f(x1,x2…,xn)

如果f的所有二階導數都存在, 那麼f的海森矩陣即：

H(f)ij(x)=DiDjf(x)

其中x=(x1,x2…,xn), 即H(f)為:

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢∂2f∂x21∂2f∂x2∂x1⋮∂2f∂xn∂x1∂2f∂x1∂x2∂2f∂x2

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