引言

  迴歸我們知道有線性迴歸，線性迴歸模型能夠無限的逼近我們的結果。以(xi,yi)為例，通過線性迴歸 f(x)=wTx+b表示式，就可以得到我們對yi的估計值。

迴歸到分類

  如何從線性迴歸轉換到分類呢？由於線性迴歸得到的是連續值，z=wTx+b，z的範圍[−∞,∞]，是這樣的一個連續值無法直接轉換為類別。那怎麼辦？最簡單粗暴的方法，在二分類中，我們設定一個閾值0，當z的值大於0我們就把他歸類為1，小於0歸類為0，z=0時就歸類為0，那不就是得到如下表達式了嗎？

p=⎧⎩⎨⎪⎪0z<00.5z=01z>0
如果我能畫個圖就好了，你看這個表示式像什麼，是不是有點像符號函式(單位階躍函式)。符號函式有一個特點，那就是啥？不可導。不可導會導致什麼後果。比如說，預先設定w

=w1,w2,...wn的初始值都為1，給定一個樣例(xi,yi)，當然此時的x為一個向量。所以通過z=wT∗x+b得到z值，然後根據符號函式得到p，發現預測的類別和我們的yi不一致，我們是不是要回去更新w值，怎麼更新，用梯度啊，求導啊。可是不可導啊，那可咋整。所以我們不能用線性迴歸去做分類，因此我們需要找一個函式來把剛才計算的z轉換一下，於是對數機率函式就出現了。y=11+e−z它就可以把剛才的線性函式轉換為非線性的，而且是處處可導的。範圍在0-1。將剛才的線性函式帶入對數機率函式中得到y=11+e−(wT∗x+b)。這個函式就把[−∞,∞]對映到了[0,1]實際上我們的y值代表的就是類別為1的概率，那麼1

−y就是類別為0的概率。好吧，那我們就以概率的形式來把他們表示出來：P(y=1|w,b,x)=11+e−(wT∗x+b)
P(y=1|w,b,x)=hw(x)
P(y=0|w,b,x)=e−(wT∗x+b)1+e−(wT∗x+b)
P(y=0|w,x,b)=1−hw(x)
我們可以把第二和第四個公式合併成一個，J(hw(x),y)=hw(x)y(1−hw(x))(1−y)如果y=1，1−y=0就剩第一項了，我們就得到了類別為1的概率。如果y=0，就只剩第二項了，也就是類別為0的概率。將其取對數之後，得到J(hw(x),y)=ylnhw(x)+(1−y)ln(1−hw(x))這樣給定一個樣本，我們就可以得出該樣本屬於一個類別的概率，而這個概率越大越好，也就是我們希望上面的代價函式能夠取到最大值。
  當然上面是這對一個樣本的代價函式，我們要通過多個樣本來估計引數w

需要用到什麼知識。當然是極大似然函數了，如果不明白可以參考我的前一篇部落格。假設樣本之間是相互獨立的，所以要先將所有樣本的代價函式乘起來，然後取對數將乘轉換為加。即：

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