尤拉函式，求互質；
阿新 • • 發佈：2019-02-03
尤拉函式 ：
尤拉函式是數論中很重要的一個函式，尤拉函式是指：對於一個正整數 n ，小於 n 且和 n 互質的正整數（包括 1）的個數，記作 φ(n) 。
完全餘數集合：
定義小於 n 且和 n 互質的數構成的集合為 Zn ，稱呼這個集合為 n 的完全餘數集合。 顯然 |Zn| ＝φ(n) 。
有關性質：
對於素數 p ，φ(p) = p -1 。
對於兩個不同素數 p， q ，它們的乘積 n = p * q 滿足 φ(n) = (p -1) * (q -1) 。
這是因為 Zn = {1, 2, 3, ... , n - 1} - {p, 2p, ... , (q - 1) * p} - {q, 2q, ... , (p - 1) * q} ， 則 φ(n) = (n - 1) - (q - 1) - (p - 1) = (p -1) * (q -1) ＝
尤拉定理 ：
對於互質的正整數 a 和 n ，有 aφ(n) ≡ 1 mod n 。
證明： ( 1 ) 令 Zn = {x1, x2, ..., xφ(n)} ， S= {a * x1 mod n, a * x2 mod n, ... , a * xφ(n) mod n} ，
則 Zn = S 。
① 因為 a 與 n 互質， xi(1 ≤ i ≤ φ(n)) 與 n 互質， 所以 a * xi 與 n 互質，所以 a * xi mod n ∈ Zn 。
② 若 i ≠ j ， 那麼 xi ≠ xj，且由 a, n互質可得
( 2 ) aφ(n) * x1 * x2 *... * xφ(n) mod n ≡ (a * x1) * (a * x2) * ... * (a * xφ(n)) mod n ≡(a * x1mod n) * (a * x2 mod n) * ... * (a * xφ(n)mod n) mod n ≡x1 * x2 * ... * xφ(n) mod n 對比等式的左右兩端，因為 xi (1 ≤ i ≤ φ(n)) 與 n 互質，所以 aφ(n) ≡ 1 mod n （消去律）。 注： 消去律：如果 gcd(c,p) = 1 ，則 ac ≡ bc mod p ⇒ a ≡ b mod p 。 費馬定理 ：
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
int a[1500005];
int euler_phi(int x) //尤拉函式
{
int n=x;
int k=(int)sqrt(double(n)+0.5);
int m=n;
for(int i=2;i<=k;i++)
{
if(n%i==0)
{
m=m/i*(i-1);
while(n%i==0)
n/=i;
}
}
if(n>1)m=m/n*(n-1);
return m;
}
void phi_table() //打表，求出1500000中所有的數的尤拉函式值
{
memset(a,0,sizeof(a));a[1]=1;
for(int i=2;i<=1500000;i++)
if(!a[i])
{
for(int j=i;j<=1500000;j+=i)
{
if(!a[j])a[j]=j;
a[j]=a[j]/i*(i-1);
}
}
}
int main()
{
int n;phi_table();
while(cin>>n)
{
cout<<euler_phi(n)<<endl;
cout<<a[n]<<endl;
}
}