現代數學的一個特點就是以集合為研究物件，這樣的好處就是可以將很多不同問題的本質抽象出來，變成同一個問題，當然這樣的壞處就是描述起來比較抽象，很多人就難以理解了。這裡主要整理(摘抄)了一下歐式空間和從向量空間一直到再生核希爾伯特空間的概念與簡單理解。
歐式空間/歐幾里得空間(Euclidean Space)
設V$V$是實數域R$R$上的線性空間（或稱為向量空間），若V$V$上定義著正定對稱雙線性型g$g$（g$g$稱為內積），則V$V$稱為（對於g$g$的）內積空間或歐幾里德空間（有時僅當V$V$是有限維時，才稱為歐幾里德空間）。這些數學空間可以被擴充套件來應用於任何有限維度，而這種空間叫做 n維歐幾里得空間（甚至簡稱 

n${\displaystyle n}$  維空間）或有限維實內積空間。
歐裡幾何空間可以說是內積空間的引申。

線性空間/向量空間(Linear Space/Vector Space)
一系列向量的集合並且只滿足加法和標量乘（向量的相乘）操作的集合。

內積空間(inner product space)
內積空間(V,⟨.,.⟩)$(\mathcal{V},⟨.,.⟩)$ 是在域F$\mathbb{F}$上可進行⟨.,.⟩:V×V→F$⟨.,.⟩:\mathcal{V}\times \mathcal{V}\to \mathbb{F}$運演算法操作的向量空間，其滿足三個原則：

1. 共軛對稱：⟨x,y⟩=⟨y,x⟩¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯$⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩=\overline{⟨\mathbf{y},\mathbf{x}⟩}$
2. 第一個變數滿足線性性：⟨ax,y⟩=a⟨x,y⟩$⟨a\mathbf{x},\mathbf{y}⟩=a⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩$和⟨x+z,y⟩
   =⟨x,y⟩+⟨z,y⟩$⟨\mathbf{x}+\mathbf{z},\mathbf{y}⟩=⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩+⟨\mathbf{z},\mathbf{y}⟩$
3. 正定性：⟨x,x⟩≥0$⟨\mathbf{x},\mathbf{x}⟩\ge 0$ 其中等式只有在x=0$x=0$取到

範數向量空間/賦範向量空間(normed vector space)
定義了向量長度的向量空間，這樣我們就可以衡量向量間的長度了。

度量空間(metric space)
定義了兩個點的距離的集合（這裡不必須是向量空間）。範數向量空間是度量空間，但是度量空間不一定是範數向量空間。

希爾伯特空間(Hilbert Space)
希爾伯特空間即完備的內積空間，也就是說一個帶有內積的完備向量空間。當一個內積空間滿足通過內積空間可推匯出範數空間(賦範空間)，並且是完備的，那麼這個內積空間就是希爾伯特空間。對於常見的

Rn${\mathbb{R}}^n$,滿足內積運算，能夠推匯出l2$l_2$範數，且是完備的，所以是希爾伯特空間。
簡單來說，基本的線性空間只包括加法和數乘操作，在此基礎上我們引入內積操作，這樣就把空間升級為內積空間。根據內積我們可以定義一個範數：||x||=<x,x>$\left||x\right||=<x,x>$於是我們就得到了一個賦範向量空間。有了範數之後我們就可以引入一個度量：d(x1,x2)=||x1−x2||$d(x_1,x_2)=||x_1-x_2||$用於計算向量x1$x_1$和x2$x_2$之間的距離。於是我們就得到一個度量空間。如果這樣的空間在這個度量下是完備的，那麼這個空間叫做希爾伯特空間。

總結一下希爾伯特空間定義的流程是：
線性空間（向量空間）–> 內積空間 –> 賦範向量空間 –> 度量空間 –完備的–> 希爾伯特空間
另外，希爾伯特空間是一個函式空間，即空間中每個元素都是一個函式。

再生核
接下來引入再生核的概念：
X$\mathcal{X}$是非空集，H$\mathcal{H}$是定義在X$\mathcal{X}$上的希爾伯特空間。核k$k$滿足下面的兩條性質就稱為H$\mathcal{H}$的再生核：

1. 對於每個x0∈X$x_0\in \mathcal{X}$,k(y,x0)$k(y,x_0)$)作為y$y$的函式屬於空間H$\mathcal{H}$
2. 任意x$x$屬於X$X$和f(.)$f(.)$屬於H$\mathcal{H}$，有