再生核：

E非空集合，H為定義在E上的複函式Hilbert空間(∀t∈E,∀ψ∈H,ψ(t)∈C)，定義函式

K:E×E→C
即
K:(s,t)→K(s,t),s,t∈E
是Hilbert空間H的再生核，當且僅當

• ∀t∈E,K(.,t)∈H

• ∀t∈E,∀ψ∈H,<ψ,K(.,t)>=ψ(t)

NOTE: 並不是H中的任意兩個函式的內積都具有再生性的哦！！也就是t∈E,ψ，φ∈H,<ψ,φ>≠ψ(t),具有再生性的那個φ是再生核產生的函式K(.,t).

∀s,t∈E,K(s,t)=<K(.,t),

K(.,s)>=K(.,t)(s)

Example 1.

考慮L2 希爾伯特空間, 定義內積為 ∀f,g∈L2(Ω)

<f,g>L2=∫x∈Ωf(x)g(x)dx
該空間包含許多不光滑函式.
那麼δ函式是不是這個空間的再生核呢? NO!

判斷再生核需滿足上文兩個條件:

• ∀t∈E,K(.,t)∈H

• ∀t∈E,∀ψ∈H,<ψ,K(.,t)>=ψ(t)

δ 函式的性質:

所以δ 函式不滿足∀t∈E,K(.,t)∈H,但滿足再生性.

再生核希爾伯特空間

再生核希爾伯特空間(RKHS)：具有再生核的Hilbert空間H

.

Example 2.

繼續希爾伯特空間中的Example1：H為有限維Hilbert空間，(f1,f2,…,fn)為H的一組標準正交基，則[ψ=∑ni=1λifi]∈H,定義

K(x,y)=∑i=1nfi(x)f¯i(y)∈H
那麼
K(.,y)=∑i=1nfi(.)f¯i(y)
<ψ,K(.,y)>H=<∑i=1nλifi(.),∑i=1nfi(.)

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