動態規劃-揹包問題、兌換零錢問題、旅行商問題
揹包問題
問題介紹
假定需要將Goods={g1,g1,…gn}放入容量為ALL的揹包內,volumej代表第i個物品的體積,valuej代表第j個物品的價值。我們要把這些物品裝進揹包,這些物品的體積不超過ALL,而且要使它們的總價值達到最大。因為揹包不可包含一個以上的同類物品,所以一般稱這樣的揹包問題為0/1揹包問題,完全揹包問題類似於兌換零錢問題。
解決思路
設C[i,j]表示從前i項{g1,g1,…gn}取出來裝入體積為j的揹包的物品的最大價值,其中i∈[0,n],j∈[0,ALL],最終chart[n,ALL]是我們最終想要得到的結果。可以通過觀察得到以下結論:
C[i,j]為下面兩個量的最大值。
①V[i-1,j]:使用最優的方法將{g1,g1,…gi-1}放入容量為j的揹包所得的最大價值。
②V[i-1,j-volumei]+value[i]:使用最優的方法將{g1,g1,…gi-1}放入容量為j-volumei的揹包所得的最大價值再加上物品gi的價值。遞推式
C(i,j)=⎧⎩⎨0,C[i−1,j],max(C[i−1,j],C[i−1,j−volumei]+valuei)若i=0 或 j=0若j<volumei若i>0和j≥volumei
Python
使用標誌矩陣輸出裝在揹包裡的物品
# coding = utf-8
class Goods:
def __init__(self, name=None, volume=0, value=0):
self.name = name
self.volume = volume
self.value = value
def get_name(self):
return self.name
def get_volume(self):
return self.volume
def get_value(self):
return self.value
def knapasck(lst, all) :
"""
利用動態規劃求解揹包問題
:param lst:
:param all:
:return:
"""
chart = [[0 for col in range(all + 1)]
for row in range(lst.__len__() + 1)] # 初始化結果矩陣,並將其值全部置為0
chart_flag = [[[] for col in range(all + 1)]
for row in range(lst.__len__() + 1)] # 初始化標誌矩陣,並將其值全部置為[]
for row in range(lst.__len__() + 1):
for col in range(all + 1):
if 0 == row or 0 == col:
chart[row][col] = 0
elif col < lst[row - 1].get_volume():
chart[row][col] = chart[row - 1][col]
chart_flag[row][col] = chart_flag[row - 1][col]
elif row > 0 and col >= lst[row - 1].get_volume():
chart[row][col] = max(chart[row - 1][col], chart[row - 1][col - lst[row - 1].get_volume()] + lst[row - 1].get_value())
if chart[row][col] == chart[row - 1][col]:
chart_flag[row][col] = chart_flag[row - 1][col]
else:
chart_flag[row][col] = chart_flag[row - 1][col - lst[row - 1].get_volume()] + [lst[row - 1].get_name()]
return chart, chart_flag
if __name__ == "__main__":
goods_lst = [
Goods('a', 2, 3),
Goods('b', 3, 4),
Goods('c', 4, 5),
Goods('d', 5, 7)]
knapasck_chart, knapasck_flag = knapasck(goods_lst, all=9)
# 顯示計算列表和標記列表
print('結果矩陣如下:')
for i in knapasck_chart:
print(i)
print("標誌矩陣如下:")
for j in knapasck_flag:
print(j)
執行結果
兌換零錢問題
問題介紹
假設2角、3角、5角和6角硬幣無限個,給一個固定的金額,求可置換硬幣的若干個方法,類似於完全揹包問題,即物品在條件允許下可以選擇任意個。
解決思路
num[i][j]表示前i個硬幣兌換的金額為j時一共有多少種兌換方法,coins代表硬幣的種類(降序排序好的列表)。
為了計算方便,我們假設兌換金額為0時有一種方法,那就是什麼都不選。
我們最終得到以下結論
①如果需要兌換的金額小於當前i表示硬幣的面值,則num[i][j]的值為num[i-1][j];
②如果需要兌換的金額大於當前j表示硬幣的面值,則num[i][j]的值為num[i-1][j]+num[i-1][j-a[i]]。遞推式
num(i,j)={num[i−1][j],num[i−1][j]+num[i][j−coins[i]]若j<coins[i]若j≥coins[i]
Python
獲得零錢兌換的方法數
def money_change(lst, money=0):
"""
兌換零錢
:param lst:零錢面值
:param money:金額
:return:
"""
num = [[0 for col in range(money + 1)]
for row in range(lst.__len__())] # 初始化結果矩陣,並將其值全部置為1
for row in range(0, lst.__len__()):
num[row][0] = 1 # 設定第一列為1,表示金額為0時,仍有一種兌換方法
for row in range(1, lst.__len__()):
for col in range(money + 1):
if col < lst[row]:
num[row][col] = num[row - 1][col]
else:
num[row][col] = num[row - 1][col] + num[row][col - lst[row]]
return num
if __name__ == "__main__":
coins = [0, 2, 3, 5, 6]
num_lst = []
min_num = 0
for element in money_change(coins, 10):
print(element)
執行結果
求解實際解
採用遞迴的方法可以求出兌換的所有解以及最優解。
Python
# coding = utf-8
ALL_METHOD = [] # 定義全域性變數儲存所有解決辦法
class Method:
info = ''
length = 0
def __init__(self, info, length=0):
self.info = info
self.length = length
def money_change(lst, method_lst, money=0):
"""
兌換零錢
:param lst:零錢面值
:param method_lst: 解決辦法列表
:param money:金額
:return:
"""
temp = [] # 用於儲存當前計算的結果
global ALL_METHOD # 宣告為全域性變數
if money > 0 and len(lst) > 0:
temp.extend(method_lst)
if len(lst) > 1:
money_change(lst[0: len(lst) - 1], temp, money)
if money >= lst[len(lst) - 1]:
method_lst.append(lst[len(lst) - 1])
temp.clear()
temp.extend(method_lst)
money_change(lst[0: len(lst)], temp, money - lst[len(lst) - 1])
elif money <= 0:
ALL_METHOD.append(Method(method_lst, len(method_lst)))
if __name__ == "__main__":
coins = [2, 3, 5, 6]
num_lst = []
min_num = 0
money_change(coins, [], 10)
for element in ALL_METHOD:
print(element.info)
ALL_METHOD.sort(key=lambda method: method.length) # 排序
for element in ALL_METHOD:
if element.length == ALL_METHOD[0].length:
print("兌換的最小個數為{},組成為:{}".format(element.length, sorted(element.info)))
執行結果
使用這個方法求解每類硬幣數量有限時,我們只需對遞推式做出修改便能得到結果,類似於0/1揹包問題。
num(i,j)={num[i−1][j],num[i−1][j]+num[i−1][j−coins[i]]若j<coins[i]若j≥coins[i]
修改下列程式碼
money_change(lst[0: len(lst)], temp, money - lst[len(lst) - 1])
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
money_change(lst[0: len(lst) - 1 ], temp, money - lst[len(lst) - 1])
執行結果
旅行商問題【待完成】
滿足三角不等式的旅行商問題
即滿足c(u,w)≤c(u,v)+c(v,w)
一般旅行商問題
其他旅行商問題