摘要

        Marr-Hildreth在1980年的文章中提到了著名的LOG運算元，我閱讀了原始文獻，在此分享下閱讀心得，深入理解LOG運算元。

       Marr-Hildreth邊緣檢測演算法(也稱為LOG演算法)的分析過程主要包括兩個部分：

 (1)在不同尺度下強度變化(intensity changes)的檢測。

 (2)結合對不同通道下零交叉點分割，形成對影象的初始略圖描述。

      影象強度變化會出現在不同尺度下的影象中，它能夠在某種尺度下被單獨檢測出來，在給定的尺度下，計算 ∇^2 G(x,y)*I(x,y)的零值，∇^2 G(x,y)二維高斯函式的拉普拉斯式，I(x,y)是表示影象在座標(x,y)上的灰度，這些零值所在的點就是影象發生強度變化的地方，這種方法被稱為零交叉分割。物體表面的不連續性，反射情況，照明邊界等等這些都是產生影象中強度變化的因素，這些因素都有一種性質，叫做spatially localized(空間區域性化)，正是由於這種性質，從不同通道產生的零交叉分割是不獨立的，根據某種準則，可以將這些不同通道下產生的零交叉分割結合起來形成對影象的原始描述。

      通過研究發現，LOG演算法具有一定的生理學意義。人的視覺處理初期的目的是為了建立一個原始的影象描述，它包含一些影象資訊，比如影象表面的反射和照明情況，物體與觀察者的距離和方向情況，這種原始的影象描述叫做primal sketch（初始略圖）[Marr 計算視覺理論]。

1、檢測影象中的強度變化

      檢測影象中的強度變化的一個主要困難是強度變化會發生在不同的尺度範圍內。沒有單一的濾波器能夠同時在所有尺度上檢測強度變化都是最優的，因此，需要尋找一種方法來檢測不同尺度下的強度變化。根據這種要求，我們需要 做到兩點：(a)尋找最優平滑濾波器。(b)在給定尺度下，怎樣檢測強度變化？

 1.1  最優平滑濾波器

       尋找最優平滑濾波器需要考慮兩點：

  (1)平滑影象的目的是為了減少影象中尺度的變化範圍。濾波器的頻譜需要是光滑的，並且在頻域中是帶限的，頻率變化ΔW應該比較小。

  (2)spatial localization的限制。影象中的強度變化產生原因主要包括：照明情況的變化、觀察者距物體的距離和方向變化、物體表面的反射情況的變化。對於這些因素，在它們的尺度上，它們能被看成spatially localized。因為spatially localized的限制，在濾波器中點的分佈應該是產生於鄰近點的平均，而不是廣泛分佈點的平均。因此，我們尋找的濾波器應該是在時域中也是光滑和區域性性的，空間的變化Δx應該也比較小。

時域和頻域的變化都要求比較小這是自相矛盾的，由不確定原理描述就是：ΔW Δx≥1/4 π,可以證明的是，只有唯一的一種分佈能最優化時域和頻域的矛盾關係，它是高斯分佈。

  1.2檢測影象的強度變化

     當影象中強度發生變化時，一階導數會出現一個頂點，相應的，二階導數會出現零交叉點，因此檢測影象中強度變化就變成了尋找影象中二階導的零交叉點，即求f(x,y)=D^2[G(r)*I(x,y)]的零點，其中，I(x,y)為影象灰度，*為卷積符號，D^2為求二階導符號。根據卷積性質得，f(x,y)=D^2G*I(x,y)。D^2G是與方向有關的算符。 由於卷積運算計算量比較大，如果尋找一個與方向無關的運算元，那麼計算量 就會減少很多。那麼這個運算元是什麼呢？在二階微分算符中，只有Laplacian算符是與方向無關的算符，被卷積後的影象時滿足使用Laplacian運算元條件的[Marr, theory of edge detection, appendix A],因此可以用 ∇^2 G可以用來檢測影象的零交叉點。

2、結合不同通道中的資訊形成對影象的描述

      當我們考慮結合不同通道中的資訊以形成對影象的描述時，我們還需要哪些額外的資訊呢？額外的資訊來自spatial localization的限制。spatial localization的意思是說，現實世界中，一些物理現象產生了影象中的強度變化，這些物理現象是spatial localized的。在一個通道中形成的zero-crossing應該是另一個通道在相應空間位置的zero-crossing，如果不是的話，只會有兩個原因：(a)兩個或更多的強度變化在一個更大尺度下被平均了。 (b)  兩個獨立的物理現象在不同尺度下，同一影象區域產生了強度變化。我們基於不同通道得到的zero-crossing集的理解是基於一個假設，叫做 spatial coincidence assumption. 簡單的說，這個假設的意思是說：在某個獨立的通道和連續變化的尺度下，得到的zero-crossing會出現在其他通道中，並且擁有相同位置和方向，而這些zero-crossing就是代表影象的強度變化，而這些強度變化時由單一的物理現象引起的，比如：光照變化，物體表面方向變化，反射情況的變化等。

參考文獻：

[1]. Theory of edge detection.Marr-Hildreth.1980.