真實奧數題

題目大意：給你正整數k$,r$。問你存在多少對$(x,y)$，滿足$x<y$且$x^2+y^2=kz^2$，並將所有符合條件的數對輸出。

數據範圍：$r≤1e9$，$k={1,2,3}$。

我們先考慮$k=1$的情況，顯然就是一個求勾股數對數的問。有一種經典的枚舉所有$x^2+y^2=z^2$且$(x,y,z)=1$的勾股數對數的式子：

$\begin{cases} x=2nm\\ y=n^2-m^2 \\ z=n^2+m^2 \end{cases}$

證明的話，展開下式子算算就好

我們只需要暴力枚舉r的因數進行計算就可以了，時間復雜度$O(r^{\frac{1.066}{\ln\ln\ n}+0.5})$（這個式子是抄來的，證明本蒟蒻不懂，反正是能過的qwq）。

考慮$k=2$的情況，我們參考處理$k=1$的情況，列一組式子，可以枚舉所有$x^2+y^2=2z^2$且$(x,y,z)=1$的式子：

$\begin{cases} x=n-m\\ y=n+m \\ z=\sqrt{n^2+m^2} \end{cases}$

證明同上

我們不難發現，這時候求解的關鍵變為了求$z^2=n^2+m^2$的對數（並將所有方案打出），這不就是第一問嗎$qwq$。

我們只需要求出所有的$(n,m)$數對後，簡單轉化一波就可以了。

考慮k=3的情況，抱歉這個是無解的qwq

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2
 
 #define L long long
 3 #define M 10000005
 4 using namespace std;
 5 
 6 pair<L,L> p[M]; int cnt=0;
 7 
 8 int solve(L z,L bei){
 9     int res=0;
10     for(L n=1;n*n<=z;n++){
11         L m=sqrt(z-n*n),x=0,y=0;
12         if(m*m+n*n!=z) continue;
13         x=2*n*m;
14         y=n*n-m*m;
 
15         if(x==y) continue;
16         if(x>y) swap(x,y);
17         if(x<=0) continue;
18         p[++cnt]=make_pair(x*bei,y*bei);
19         res++;
20     }
21     return res;
22 }
23 
24 int main(){
25     int cas; cin>>cas;
26     while(cas--){
27         L k,z,ans=0; cin>>k>>z; cnt=0;
28         if(k==3) {printf("0\n"); continue;}
29         for(L i=1;i*i<=z;i++) if(z%i==0){
30             ans+=solve(i,z/i);
31             if(i*i!=z) ans+=solve(z/i,i);
32         }
33         sort(p+1,p+cnt+1);
34         cnt=unique(p+1,p+cnt+1)-p-1;
35         if(k==2){
36             for(int i=1;i<=cnt;i++){
37                 p[i]=make_pair(p[i].second-p[i].first,p[i].second+p[i].first);
38             }
39             sort(p+1,p+cnt+1);
40             cnt=unique(p+1,p+cnt+1)-p-1;
41         }
42         printf("%d\n",cnt);
43         for(int i=1;i<=cnt;i++) printf("%d %d\n",p[i].first,p[i].second);
44 
45     }
46 }

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