麥克納姆輪全向移動原理

阿新 • • 發佈：2019-02-07

什麼是麥克納姆輪

在競賽機器人和特殊工種機器人中，全向移動經常是一個必需的功能。「全向移動」意味著可以在平面內做出任意方向平移同時自轉的動作。為了實現全向移動，一般機器人會使用「全向輪」（Omni Wheel）或「麥克納姆輪」（Mecanum Wheel）這兩種特殊輪子。

全向輪：

麥克納姆輪：

全向輪與麥克納姆輪的共同點在於他們都由兩大部分組成：輪轂和輥子（roller）。輪轂是整個輪子的主體支架，輥子則是安裝在輪轂上的鼓狀物。全向輪的輪轂軸與輥子轉軸相互垂直，而麥克納姆輪的輪轂軸與輥子轉軸呈 45° 角。理論上，這個夾角可以是任意值，根據不同的夾角可以製作出不同的輪子，但最常用的還是這兩種。

全向輪與麥克納姆輪（以下簡稱「麥輪」）在結構、力學特性、運動學特性上都有差異，其本質原因是輪轂軸與輥子轉軸的角度不同。經過分析，二者的運動學和力學特性區別可以通過以下表格來體現。

計算過程如下，供參考，學霸可點開大圖驗算：

近年來，麥輪的應用逐漸增多，特別是在 Robocon、FRC 等機器人賽事上。這是因為麥克納姆輪可以像傳統輪子一樣，安裝在相互平行的軸上。而若想使用全向輪完成類似的功能，幾個輪轂軸之間的角度就必須是 60°，90° 或 120° 等角度，這樣的角度生產和製造起來比較麻煩。所以許多工業全向移動平臺都是使用麥克納姆輪而不是全向輪，比如這個國產的叉車：全向移動平臺麥克納姆輪叉車美科斯叉車

另外一個原因，可能是麥輪的造型比全向輪要酷炫得多，看起來有一種不明覺厲的感覺……

的確，第一次看到麥輪運轉起來，不少人都會驚歎。以下視訊直觀地說明了麥輪底盤在平移和旋轉時的輪子旋轉方向。

視訊

麥輪的安裝方法

麥輪一般是四個一組使用，兩個左旋輪，兩個右旋輪。左旋輪和右旋輪呈手性對稱，區別如下圖。

安裝方式有多種，主要分為：X-正方形（X-square）、X-長方形（X-rectangle）、O-正方形（O-square）、O-長方形（O-rectangle）。其中 X 和 O 表示的是與四個輪子地面接觸的輥子所形成的圖形；正方形與長方形指的是四個輪子與地面接觸點所圍成的形狀。

X-正方形：輪子轉動產生的力矩會經過同一個點，所以 yaw 軸無法主動旋轉，也無法主動保持 yaw 軸的角度。一般幾乎不會使用這種安裝方式。
X-長方形：輪子轉動可以產生 yaw 軸轉動力矩，但轉動力矩的力臂一般會比較短。這種安裝方式也不多見。
O-正方形：四個輪子位於正方形的四個頂點，平移和旋轉都沒有任何問題。受限於機器人底盤的形狀、尺寸等因素，這種安裝方式雖然理想，但可遇而不可求。
O-長方形：輪子轉動可以產生 yaw 軸轉動力矩，而且轉動力矩的力臂也比較長。是最常見的安裝方式。

麥輪底盤的正逆運動學模型

以O-長方形的安裝方式為例，四個輪子的著地點形成一個矩形。正運動學模型（forward kinematic model）將得到一系列公式，讓我們可以通過四個輪子的速度，計算出底盤的運動狀態；而逆運動學模型（inverse kinematic model）得到的公式則是可以根據底盤的運動狀態解算出四個輪子的速度。需要注意的是，底盤的運動可以用三個獨立變數來描述：X軸平動、Y軸平動、yaw 軸自轉；而四個麥輪的速度也是由四個獨立的電機提供的。所以四個麥輪的合理速度是存在某種約束關係的，逆運動學可以得到唯一解，而正運動學中不符合這個約束關係的方程將無解。

先試圖構建逆運動學模型，由於麥輪底盤的數學模型比較複雜，我們在此分四步進行：

①將底盤的運動分解為三個獨立變數來描述；

②根據第一步的結果，計算出每個輪子軸心位置的速度；

③根據第二步的結果，計算出每個輪子與地面接觸的輥子的速度；

④根據第三部的結果，計算出輪子的真實轉速。

一、底盤運動的分解

我們知道，剛體在平面內的運動可以分解為三個獨立分量：X軸平動、Y軸平動、yaw 軸自轉。如下圖所示，底盤的運動也可以分解為三個量：

$v_{t_x}$ 表示 X 軸運動的速度，即左右方向，定義向右為正；

$v_{t_y}$ 表示 Y 軸運動的速度，即前後方向，定義向前為正；

$\vec{\omega}$ 表示 yaw 軸自轉的角速度，定義逆時針為正。

以上三個量一般都視為四個輪子的幾何中心（矩形的對角線交點）的速度。

二、計算出輪子軸心位置的速度

定義：

$\vec{r}$ 為從幾何中心指向輪子軸心的向量；

$\vec{v}$ 為輪子軸心的運動速度向量；

$\vec{v_r}$ 為輪子軸心沿垂直於 $\vec{r}$ 的方向（即切線方向）的速度分量；

那麼可以計算出：

$\vec{v}=\vec{v_t}+\vec{\omega} \times \vec{r}$

分別計算 X、Y 軸的分量為：

$\begin{equation}
\begin{cases}
v_x=v_{t_x}-\omega \cdot r_y \\
v_y=v_{t_y}+\omega \cdot r_x \\
\end{cases}
\end{equation}$

同理可以算出其他三個輪子軸心的速度。

三、計算輥子的速度

根據輪子軸心的速度，可以分解出沿輥子方向的速度 $\vec{v_\|}$ 和垂直於輥子方向的速度 $\vec{v_\perp}$ 。其中 $\vec{v_\perp}$ 是可以無視的（思考題：為什麼垂直方向的速度可以無視？），而

$\vec{v_\|}=\vec{v} \cdot \hat{u}=(v_x\hat{i}+v_y\hat{j})\cdot(-\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i}+\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j})=-\frac{1}{\sqrt{2}}v_x+\frac{1}{\sqrt{2}}v_y$

其中 $\hat{u}$ 是沿輥子方向的單位向量。

四、計算輪子的速度

從輥子速度到輪子轉速的計算比較簡單：

$v_w=\frac{v_\|}{cos 45^\circ}=\sqrt{2}(-\frac{1}{\sqrt{2}}v_x+\frac{1}{\sqrt{2}}v_y)=-v_x+v_y$

根據上圖所示的 $a$ 和 $b$ 的定義，有

$\begin{equation}
\begin{cases}
v_x=v_{t_x}+\omega b \\
v_y=v_{t_y}-\omega a \\
\end{cases}
\end{equation}$

結合以上四個步驟，可以根據底盤運動狀態解算出四個輪子的轉速：

$\begin{equation}
\begin{cases}
v_{w_1}=v_{t_y}-v_{t_x}+\omega(a+b) \\
v_{w_2}=v_{t_y}+v_{t_x}-\omega(a+b) \\
v_{w_3}=v_{t_y}-v_{t_x}-\omega(a+b) \\
v_{w_4}=v_{t_y}+v_{t_x}+\omega(a+b) \\
\end{cases}
\end{equation}$

以上方程組就是O-長方形麥輪底盤的逆運動學模型，而正運動學模型可以直接根據逆運動學模型中的三個方程解出來，此處不再贅述。

另一種計算方式

「傳統」的推導過程雖然嚴謹，但還是比較繁瑣的。這裡介紹一種簡單的逆運動學計算方式。

我們知道，全向移動底盤是一個純線性系統，而剛體運動又可以線性分解為三個分量。那麼只需要計算出麥輪底盤在「沿X軸平移」、「沿Y軸平移」、「繞幾何中心自轉」時，四個輪子的速度，就可以通過簡單的加法，計算出這三種簡單運動所合成的「平動+旋轉」運動時所需要的四個輪子的轉速。而這三種簡單運動時，四個輪子的速度可以通過簡單的測試，或是推動底盤觀察現象得出。

當底盤沿著 X 軸平移時：

$\begin{equation}
\begin{cases}
v_{w_1}=-v_{t_x} \\
v_{w_2}=+v_{t_x} \\
v_{w_3}=-v_{t_x} \\
v_{w_4}=+v_{t_x} \\
\end{cases}
\end{equation}$

當底盤沿著 Y 軸平移時：

$\begin{equation}
\begin{cases}
v_{w_1}=v_{t_y} \\
v_{w_2}=v_{t_y} \\
v_{w_3}=v_{t_y} \\
v_{w_4}=v_{t_y} \\
\end{cases}
\end{equation}$

當底盤繞幾何中心自轉時：

$\begin{equation}
\begin{cases}
v_{w_1}=+\omega(a+b) \\
v_{w_2}=-\omega(a+b) \\
v_{w_3}=-\omega(a+b) \\
v_{w_4}=+\omega(a+b) \\
\end{cases}
\end{equation}$

將以上三個方程組相加，得到的恰好是根據「傳統」方法計算出的結果。這種計算方式不僅適用於O-長方形的麥輪底盤，也適用於任何一種全向移動的機器人底盤。

Makeblock 麥輪底盤的組裝

理論分析完成，可以開始嘗試將其付諸實踐了。

第一步，組裝矩形框架。

第二步，組裝電機模組。

由於麥輪底盤的四個輪子速度有約束關係，必須精確地控制每個輪子的速度，否則將會導致輥子與地面發生滑動摩擦，不僅會讓底盤運動異常，還會讓麥輪的壽命減少。所以必須使用編碼電機。

第三步，將電機模組安裝到框架上。

第四步，將麥輪安裝到框架上。

第五步，安裝電路板並接線。

編碼電機必須配上相應的驅動板才能正常工作。這裡使用的 Makeblock 編碼電機驅動板，每一塊板可以驅動兩個電機。接線順序在下文中會提及，也可以隨意接上，在程式碼中定義好對應的順序即可。

第六步，裝上電池。

至此，一個能獨立執行的麥輪底盤就完成了。

控制程式

根據麥輪的底盤的運動學模型，要完全控制它的運動，需要有三個控制量：X軸速度、Y軸速度、自轉角速度。要產生這三個控制量，有很多種方法，本文將使用一個 USB 遊戲手柄，左邊的搖桿產生平移速度，右邊的搖桿產生角速度。

然後插上一個無線 USB 遊戲手柄。

然後再新增其他細節，就大功告成啦！

其他細節：

#include <Wire.h>
#include <SoftwareSerial.h>
#include "MeOrion.h"

MeUSBHost joypad(PORT_3);
//	手柄程式碼（紅燈亮模式）
//	預設：128-127-128-127-15-0-0-128
//	左一：128-127-128-127-15-1-0-128
//	右一：128-127-128-127-15-2-0-128
//	左二：128-127-128-127-15-4-0-128
//	右二：128-127-128-127-15-8-0-128
//	三角：128-127-128-127-31-0-0-128 （0001 1111）
//	方形：128-127-128-127-143-0-0-128 （1000 1111）
//	叉號：128-127-128-127-79-0-0-128 （0100 1111）
//	圓圈：128-127-128-127-47-0-0-128 （0010 1111）
//	向上：128-127-128-127-0-0-0-128 （0000 0000）
//	向下：128-127-128-127-4-0-0-128 （0000 0100）
//	向左：128-127-128-127-6-0-0-128 （0000 0110）
//	向右：128-127-128-127-2-0-0-128 （0000 0010）
//	左上：128-127-128-127-7-0-0-128 （0000 0111）
//	左下：128-127-128-127-5-0-0-128 （0000 0101）
//	右上：128-127-128-127-1-0-0-128 （0000 0001）
//	右下：128-127-128-127-3-0-0-128 （0000 0011）
//	選擇：128-127-128-127-15-16-0-128
//	開始：128-127-128-127-15-32-0-128
//	搖桿：右X-右Y-左X-左Y-15-0-0-128


MeEncoderMotor motor1(0x02, SLOT2);
MeEncoderMotor motor2(0x02, SLOT1);
MeEncoderMotor motor3(0x0A, SLOT2);
MeEncoderMotor motor4(0x0A, SLOT1);

//  底盤：a = 130mm, b = 120mm

float linearSpeed = 100;
float angularSpeed = 100;
float maxLinearSpeed = 200;
float maxAngularSpeed = 200;
float minLinearSpeed = 30;
float minAngularSpeed = 30;

void setup()
{
    //  要上電才能工作，不能只是插上 USB 線來除錯。
	motor1.begin();
	motor2.begin();
	motor3.begin();
	motor4.begin();
	
	Serial.begin(57600);
	joypad.init(USB1_0);
}

void loop()
{
    Serial.println("loop:");
	//setEachMotorSpeed(100, 50, 50, 100);
	if(!joypad.device_online)
    {
        //  若一直輸出離線狀態，重新拔插 USB Host 的 RJ25 線試一下。
        Serial.println("Device offline.");
        joypad.probeDevice();
        delay(1000);
    }
    else
    {
        int len = joypad.host_recv();
        parseJoystick(joypad.RECV_BUFFER);
        delay(5);
    }
	//delay(500);
}


void setEachMotorSpeed(float speed1, float speed2, float speed3, float speed4)
{
	motor1.runSpeed(speed1);
	motor2.runSpeed(-speed2);
	motor3.runSpeed(-speed3);
	motor4.runSpeed(-speed4);
}

void parseJoystick(unsigned char *buf)   //Analytic function, print 8 bytes from USB Host
{
    //  輸出手柄的資料，除錯用
    // int i = 0;
    // for(i = 0; i < 7; i++)
    // {
    //     Serial.print(buf[i]);  //It won't work if you connect to the Makeblock Orion.
    //     Serial.print('-');
    // }
    // Serial.println(buf[7]);
    // delay(10);

    //  速度增減
    switch (buf[5])
    {
        case 1:
            linearSpeed += 5;
            if (linearSpeed > maxLinearSpeed)
            {
                linearSpeed = maxLinearSpeed;
            }
            break;
        case 2:
            angularSpeed += 5;
            if (angularSpeed > maxAngularSpeed)
            {
                angularSpeed = maxAngularSpeed;
            }
            break;
        case 4:
            linearSpeed -= 5;
            if (linearSpeed < minLinearSpeed)
            {
                linearSpeed = minLinearSpeed;
            }
            break;
        case 8:
            angularSpeed -= 5;
            if (angularSpeed < minAngularSpeed)
            {
                angularSpeed = minAngularSpeed;
            }
            break;
        default:
            break;
    }


    
    if ((128 != buf[0]) || (127 != buf[1]) || (128 != buf[2]) || (127 != buf[3]))
    {
        //  處理搖桿
        float x = ((float)(buf[2]) - 127) / 128;
        float y = (127 - (float)(buf[3])) / 128;
        float a = (127 - (float)(buf[0])) / 128;
        mecanumRun(x * linearSpeed, y * linearSpeed, a * angularSpeed);
    }
    else
    {
        switch (buf[4])
        {
            case 0:
                mecanumRun(0, linearSpeed, 0);
                break;
            case 4:
                mecanumRun(0, -linearSpeed, 0);
                break;
            case 6:
                mecanumRun(-linearSpeed, 0, 0);
                break;
            case 2:
                mecanumRun(linearSpeed, 0, 0);
                break;
            case 7:
                mecanumRun(-linearSpeed/2, linearSpeed/2, 0);
                break;
            case 5:
                mecanumRun(-linearSpeed/2, -linearSpeed/2, 0);
                break;
            case 1:
                mecanumRun(linearSpeed/2, linearSpeed/2, 0);
                break;
            case 3:
                mecanumRun(linearSpeed/2,  -linearSpeed/2, 0);
                break;
            default:
                mecanumRun(0, 0, 0);
                break;
        }
    }
}

void mecanumRun(float xSpeed, float ySpeed, float aSpeed)
{
    float speed1 = ySpeed - xSpeed + aSpeed; 
    float speed2 = ySpeed + xSpeed - aSpeed;
    float speed3 = ySpeed - xSpeed - aSpeed;
    float speed4 = ySpeed + xSpeed + aSpeed;
    
    float max = speed1;
    if (max < speed2)   max = speed2;
    if (max < speed3)   max = speed3;
    if (max < speed4)   max = speed4;
    
    if (max > maxLinearSpeed)
    {
        speed1 = speed1 / max * maxLinearSpeed;
        speed2 = speed2 / max * maxLinearSpeed;
        speed3 = speed3 / max * maxLinearSpeed;
        speed4 = speed4 / max * maxLinearSpeed;
    }
    
    setEachMotorSpeed(speed1, speed2, speed3, speed4);
}

//=======================================================================================//

文章中所有圖片資料均來自：熾點機器人

我們來畫個受力示意圖吧

先來看看前後移動

圖中紅色實線箭頭是車輪向前轉產生的摩擦力

藍色箭頭是車輪向後轉產生的摩擦力

虛線是分力

於是左邊的小車就會向前跑，右邊的小車會向後跑

接下來我們畫原地旋轉

於是左邊的小車就順時針旋轉

右邊的小車逆時針旋轉

讓我們再來看看平移

左邊的小車向左平移

右邊的小車向右平移

接下來看看斜著跑

只要同向轉動對角線上兩個輪子，

就能斜著跑啦

麥克納姆輪全向移動原理

什麼是麥克納姆輪

麥輪的安裝方法

麥輪底盤的正逆運動學模型

另一種計算方式

Makeblock 麥輪底盤的組裝

控制程式

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