麥克納姆輪及其速度分解計算
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什麼是麥克納姆輪
在競賽機器人和特殊工種機器人中,全向移動經常是一個必需的功能。「全向移動」意味著可以在平面內做出任意方向平移同時自轉的動作。為了實現全向移動,一般機器人會使用「全向輪」(Omni Wheel)或「麥克納姆輪」(Mecanum Wheel)這兩種特殊輪子。
全向輪:
全向輪與麥克納姆輪的共同點在於他們都由兩大部分組成:輪轂和輥子(roller)。輪轂是整個輪子的主體支架,輥子則是安裝在輪轂上的鼓狀物。全向輪的輪轂軸與輥子轉軸相互垂直,而麥克納姆輪的輪轂軸與輥子轉軸呈 45° 角。理論上,這個夾角可以是任意值,根據不同的夾角可以製作出不同的輪子,但最常用的還是這兩種。
全向輪與麥克納姆輪(以下簡稱「麥輪」)在結構、力學特性、運動學特性上都有差異,其本質原因是輪轂軸與輥子轉軸的角度不同。經過分析,二者的運動學和力學特性區別可以通過以下表格來體現。
計算過程如下,供參考,學霸可點開大圖驗算:
近年來,麥輪的應用逐漸增多,特別是在 Robocon、FRC 等機器人賽事上。這是因為麥克納姆輪可以像傳統輪子一樣,安裝在相互平行的軸上。而若想使用全向輪完成類似的功能,幾個輪轂軸之間的角度就必須是 60°,90° 或 120° 等角度,這樣的角度生產和製造起來比較麻煩。所以許多工業全向移動平臺都是使用麥克納姆輪而不是全向輪,比如這個國產的叉車: 全向移動平臺 麥克納姆輪叉車 美科斯叉車
另外一個原因,可能是麥輪的造型比全向輪要酷炫得多,看起來有一種不明覺厲的感覺……
的確,第一次看到麥輪運轉起來,不少人都會驚歎。以下視訊直觀地說明了麥輪底盤在平移和旋轉時的輪子旋轉方向。
麥輪的安裝方法
麥輪一般是四個一組使用,兩個左旋輪,兩個右旋輪。左旋輪和右旋輪呈手性對稱,區別如下圖。
安裝方式有多種,主要分為:X-正方形(X-square)、X-長方形(X-rectangle)、O-正方形(O-square)、O-長方形(O-rectangle)。其中 X 和 O 表示的是與四個輪子地面接觸的輥子所形成的圖形;正方形與長方形指的是四個輪子與地面接觸點所圍成的形狀。
- X-正方形:輪子轉動產生的力矩會經過同一個點,所以 yaw 軸無法主動旋轉,也無法主動保持 yaw 軸的角度。一般幾乎不會使用這種安裝方式。
- X-長方形:輪子轉動可以產生 yaw 軸轉動力矩,但轉動力矩的力臂一般會比較短。這種安裝方式也不多見。
- O-正方形:四個輪子位於正方形的四個頂點,平移和旋轉都沒有任何問題。受限於機器人底盤的形狀、尺寸等因素,這種安裝方式雖然理想,但可遇而不可求。
- O-長方形:輪子轉動可以產生 yaw 軸轉動力矩,而且轉動力矩的力臂也比較長。是最常見的安裝方式。
麥輪底盤的正逆運動學模型
以O-長方形的安裝方式為例,四個輪子的著地點形成一個矩形。正運動學模型(forward kinematic model)將得到一系列公式,讓我們可以通過四個輪子的速度,計算出底盤的運動狀態;而逆運動學模型(inverse kinematic model)得到的公式則是可以根據底盤的運動狀態解算出四個輪子的速度。需要注意的是,底盤的運動可以用三個獨立變數來描述:X軸平動、Y軸平動、yaw 軸自轉;而四個麥輪的速度也是由四個獨立的電機提供的。所以四個麥輪的合理速度是存在某種約束關係的,逆運動學可以得到唯一解,而正運動學中不符合這個約束關係的方程將無解。
先試圖構建逆運動學模型,由於麥輪底盤的數學模型比較複雜,我們在此分四步進行:
①將底盤的運動分解為三個獨立變數來描述;
②根據第一步的結果,計算出每個輪子軸心位置的速度;
③根據第二步的結果,計算出每個輪子與地面接觸的輥子的速度;
④根據第三部的結果,計算出輪子的真實轉速。
一、底盤運動的分解
我們知道,剛體在平面內的運動可以分解為三個獨立分量:X軸平動、Y軸平動、yaw 軸自轉。如下圖所示,底盤的運動也可以分解為三個量:
表示 X 軸運動的速度,即左右方向,定義向右為正;
表示 Y 軸運動的速度,即前後方向,定義向前為正;
表示 yaw 軸自轉的角速度,定義逆時針為正。
以上三個量一般都視為四個輪子的幾何中心(矩形的對角線交點)的速度。
二、計算出輪子軸心位置的速度
定義:
為從幾何中心指向輪子軸心的向量;
為輪子軸心的運動速度向量;
為輪子軸心沿垂直於 的方向(即切線方向)的速度分量;
那麼可以計算出:
分別計算 X、Y 軸的分量為:
同理可以算出其他三個輪子軸心的速度。
三、計算輥子的速度
根據輪子軸心的速度,可以分解出沿輥子方向的速度 和垂直於輥子方向的速度 。其中 是可以無視的(思考題:為什麼垂直方向的速度可以無視?),而
其中 是沿輥子方向的單位向量。
四、計算輪子的速度
從輥子速度到輪子轉速的計算比較簡單:
根據上圖所示的 和 的定義,有
結合以上四個步驟,可以根據底盤運動狀態解算出四個輪子的轉速:
以上方程組就是O-長方形麥輪底盤的逆運動學模型,而正運動學模型可以直接根據逆運動學模型中的三個方程解出來,此處不再贅述。
另一種計算方式
「傳統」的推導過程雖然嚴謹,但還是比較繁瑣的。這裡介紹一種簡單的逆運動學計算方式。
我們知道,全向移動底盤是一個純線性系統,而剛體運動又可以線性分解為三個分量。那麼只需要計算出麥輪底盤在「沿X軸平移」、「沿Y軸平移」、「繞幾何中心自轉」時,四個輪子的速度,就可以通過簡單的加法,計算出這三種簡單運動所合成的「平動+旋轉」運動時所需要的四個輪子的轉速。而這三種簡單運動時,四個輪子的速度可以通過簡單的測試,或是推動底盤觀察現象得出。
當底盤沿著 X 軸平移時:
當底盤沿著 Y 軸平移時:
當底盤繞幾何中心自轉時:
將以上三個方程組相加,得到的恰好是根據「傳統」方法計算出的結果。這種計算方式不僅適用於O-長方形的麥輪底盤,也適用於任何一種全向移動的機器人底盤。