經典dp問題

 1、問題相關定義：

 (1)凸多邊形的三角剖分：將凸多邊形分割成互不相交的三角形的弦的集合T。

(2)最優剖分：給定凸多邊形P，以及定義在由多邊形的邊和絃組成的三角形上的權函式w。要求確定該凸多邊形的三角剖分，使得該三角剖分中諸三角形上權之和為最小。

     凸多邊形三角剖分如下圖所示：

          2、最優子結構性質：

若凸(n+1)邊形P={V0,V1……Vn}的最優三角剖分T包含三角形V0VkVn,1<=k<=n，則T的權為三個部分權之和：三角形V0VkVn的權，多邊形{V0,V1……Vk}的權和多邊形{Vk,Vk+1……Vn}的權之和。如下圖所示：

          可以斷言，由T確定的這兩個子多邊形的三角剖分也是最優的。因為若有{V0

         3、遞推關係：

設t[i][j],1<=i<j<=n為凸多邊形{Vi-1,Vi……Vj}的最優三角剖分所對應的權值函式值，即其最優值。最優剖分包含三角形Vi-1VkVj的權，子多邊形{Vi-1,Vi……Vk}的權，子多邊形{Vk，Vk+1……Vj}的權之和。

      因此，可得遞推關係式：

     凸(n+1)邊形P的最優權值為t[1][n]。

<em>//3d5 凸多邊形最優三角剖分
#include "stdafx.h"
#include <iostream> 
using namespace std; 

const int N = 7;//凸多邊形邊數+1
int weight[][N] = {{0,2,2,3,1,4},{2,0,1,5,2,3},{2,1,0,2,1,4},{3,5,2,0,6,2},{1,2,1,6,0,1},{4,3,4,2,1,0}};//凸多邊形的權

int MinWeightTriangulation(int n,int **t,int **s);
void Traceback(int i,int j,int **s);//構造最優解
int Weight(int a,int b,int c);//權函式

int main()
{
	int **s = new int *[N];  
    int **t = new int *[N];  
    for(int i=0;i<N;i++)    
    {    
        s[i] = new int[N];  
        t[i] = new int[N];  
    } 

	cout<<"此多邊形的最優三角剖分值為："<<MinWeightTriangulation(N-1,t,s)<<endl;  
    cout<<"最優三角剖分結構為："<<endl;  
    Traceback(1,5,s); //s[i][j]記錄了Vi-1和Vj構成三角形的第3個頂點的位置

	return 0;
}

int MinWeightTriangulation(int n,int **t,int **s)
{
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		t[i][i] = 0;
	}
	for(int r=2; r<=n; r++) //r為當前計算的鏈長（子問題規模）  
	{
		for(int i=1; i<=n-r+1; i++)//n-r+1為最後一個r鏈的前邊界  
		{
			int j = i+r-1;//計算前邊界為r，鏈長為r的鏈的後邊界  

			t[i][j] = t[i+1][j] + Weight(i-1,i,j);//將鏈ij劃分為A(i) * ( A[i+1:j] )這裡實際上就是k=i

			s[i][j] = i;

			for(int k=i+1; k<j; k++)
			{
				//將鏈ij劃分為( A[i:k] )* (A[k+1:j])   
				int u = t[i][k] + t[k+1][j] + Weight(i-1,k,j);
				if(u<t[i][j])
				{
					t[i][j] = u;
					s[i][j] = k;
				}
			}
		}
	}
	return t[1][N-2];
}

void Traceback(int i,int j,int **s)
{
	if(i==j) return;
	Traceback(i,s[i][j],s);
	Traceback(s[i][j]+1,j,s);
	cout<<"三角剖分頂點：V"<<i-1<<",V"<<j<<",V"<<s[i][j]<<endl;
}

int Weight(int a,int b,int c)
{
	 return weight[a][b] + weight[b][c] + weight[a][c];
}</em>
 

程式輸入如下所示：