並查集詳解
這個文章是幾年前水acm的時候轉的, 當時也不知道作者是誰, 要是有人知道的話說一下吧
並查集是我暑假從高手那裡學到的一招，覺得真是太精妙的設計了。以前我無法解決的一類問題竟然可以用如此簡單高效的方法搞定。不分享出來真是對不起party了。（party：我靠，關我嘛事啊？我跟你很熟麼？）
首先在地圖上給你若干個城鎮，這些城鎮都可以看作點，然後告訴你哪些對城鎮之間是有道路直接相連的。最後要解決的是整幅圖的連通性問題。比如隨意給你兩個點，讓你判斷它們是否連通，或者問你整幅圖一共有幾個連通分支，也就是被分成了幾個互相獨立的塊。像暢通工程這題，問還需要修幾條路，實質就是求有幾個連通分支。如果是1個連通分支，說明整幅圖上的點都連起來了，不用再修路了；如果是2個連通分支，則只要再修1條路，從兩個分支中各選一個點，把它們連起來，那麼所有的點都是連起來的了；如果是3個連通分支，則只要再修兩條路……
以下面這組資料輸入資料來說明
4 2 1 3 4 3
第一行告訴你，一共有4個點，2條路。下面兩行告訴你，1、3之間有條路，4、3之間有條路。那麼整幅圖就被分成了1-3-4和2兩部分。只要再加一條路，把2和其他任意一個點連起來，暢通工程就實現了，那麼這個這組資料的輸出結果就是1。好了，現在程式設計實現這個功能吧，城鎮有幾百個，路有不知道多少條，而且可能有迴路。 這可如何是好？
我以前也不會呀，自從用了並查集之後，嗨，效果還真好！我們全家都用它！
並查集由一個整數型的陣列和兩個函式構成。陣列pre[]記錄了每個點的前導點是什麼，函式find是查詢，join是合併。
int pre[1000 ];
int find(int x)
//查詢根節點
{
int r=x;
while ( pre[r ] != r ) //返回根節點 r
r=pre[r ];
int i=x , j ;
while( i != r )
//路徑壓縮
{
j = pre[ i ]; // 在改變上級之前用臨時變數 j 記錄下他的值
pre[ i ]= r ; //把上級改為根節點
i=j;
}
return r ;
}
void join(int x,int y) //判斷x y是否連通，
//如果已經連通，就不用管了 //如果不連通，就把它們所在的連通分支合併起,
{
int fx=find(x),fy=find(y);
if(fx!=fy)
pre[fx ]=fy;
}
為了解釋並查集的原理，我將舉一個更有愛的例子。 話說江湖上散落著各式各樣的大俠，有上千個之多。他們沒有什麼正當職業，整天揹著劍在外面走來走去，碰到和自己不是一路人的，就免不了要打一架。但大俠們有一個優點就是講義氣，絕對不打自己的朋友。而且他們信奉“朋友的朋友就是我的朋友”，只要是能通過朋友關係串聯起來的，不管拐了多少個彎，都認為是自己人。這樣一來，江湖上就形成了一個一個的群落，通過兩兩之間的朋友關係串聯起來。而不在同一個群落的人，無論如何都無法通過朋友關係連起來，於是就可以放心往死了打。但是兩個原本互不相識的人，如何判斷是否屬於一個朋友圈呢？
我們可以在每個朋友圈內推舉出一個比較有名望的人，作為該圈子的代表人物，這樣，每個圈子就可以這樣命名“齊達內朋友之隊”“羅納爾多朋友之隊”……兩人只要互相對一下自己的隊長是不是同一個人，就可以確定敵友關係了。
但是還有問題啊，大俠們只知道自己直接的朋友是誰，很多人壓根就不認識隊長，要判斷自己的隊長是誰，只能漫無目的的通過朋友的朋友關係問下去：“你是不是隊長？你是不是隊長？”這樣一來，隊長面子上掛不住了，而且效率太低，還有可能陷入無限迴圈中。於是隊長下令，重新組隊。隊內所有人實行分等級制度，形成樹狀結構，我隊長就是根節點，下面分別是二級隊員、三級隊員。每個人只要記住自己的上級是誰就行了。遇到判斷敵友的時候，只要一層層向上問，直到最高層，就可以在短時間內確定隊長是誰了。由於我們關心的只是兩個人之間是否連通，至於他們是如何連通的，以及每個圈子內部的結構是怎樣的，甚至隊長是誰，並不重要。所以我們可以放任隊長隨意重新組隊，只要不搞錯敵友關係就好了。於是，門派產生了。
http://i3.6.cn/cvbnm/6f/ec/f4/1e9cfcd3def64d26ed1a49d72c1f6db9.jpg
下面我們來看並查集的實現。 int pre[1000]; 這個陣列，記錄了每個大俠的上級是誰。大俠們從1或者0開始編號（依據題意而定），pre[15]=3就表示15號大俠的上級是3號大俠。如果一個人的上級就是他自己，那說明他就是掌門人了，查詢到此為止。也有孤家寡人自成一派的，比如歐陽鋒，那麼他的上級就是他自己。每個人都只認自己的上級。比如胡青牛同學只知道自己的上級是楊左使。張無忌是誰？不認識！要想知道自己的掌門是誰，只能一級級查上去。 find這個函式就是找掌門用的，意義再清楚不過了（路徑壓縮演算法先不論，後面再說）。
int find(int x) //查詢我（x）的掌門
{
int r=x; //委託 r 去找掌門
while (pre[r ]!=r) //如果r的上級不是r自己（也就是說找到的大俠他不是掌門 = =）
r=pre[r ] ; // r 就接著找他的上級，直到找到掌門為止。
return r ; //掌門駕到~~~
}
再來看看join函式，就是在兩個點之間連一條線，這樣一來，原先它們所在的兩個板塊的所有點就都可以互通了。這在圖上很好辦，畫條線就行了。但我們現在是用並查集來描述武林中的狀況的，一共只有一個pre[]陣列，該如何實現呢？ 還是舉江湖的例子，假設現在武林中的形勢如圖所示。虛竹小和尚與周芷若MM是我非常喜歡的兩個人物，他們的終極boss分別是玄慈方丈和滅絕師太，那明顯就是兩個陣營了。我不希望他們互相打架，就對他倆說：“你們兩位拉拉勾，做好朋友吧。”他們看在我的面子上，同意了。這一同意可非同小可，整個少林和峨眉派的人就不能打架了。這麼重大的變化，可如何實現呀，要改動多少地方？其實非常簡單，我對玄慈方丈說：“大師，麻煩你把你的上級改為滅絕師太吧。這樣一來，兩派原先的所有人員的終極boss都是師太，那還打個球啊！反正我們關心的只是連通性，門派內部的結構不要緊的。”玄慈一聽肯定火大了：“我靠，憑什麼是我變成她手下呀，怎麼不反過來？我抗議！”抗議無效，上天安排的，最大。反正誰加入誰效果是一樣的，我就隨手指定了一個。這段函式的意思很明白了吧？
void join(int x,int y) //我想讓虛竹和周芷若做朋友
{
int fx=find(x),fy=find(y); //虛竹的老大是玄慈，芷若MM的老大是滅絕
if(fx!=fy) //玄慈和滅絕顯然不是同一個人
pre[fx ]=fy; //方丈只好委委屈屈地當了師太的手下啦
}
再來看看路徑壓縮演算法。建立門派的過程是用join函式兩個人兩個人地連線起來的，誰當誰的手下完全隨機。最後的樹狀結構會變成什麼胎脣樣，我也完全無法預計，一字長蛇陣也有可能。這樣查詢的效率就會比較低下。最理想的情況就是所有人的直接上級都是掌門，一共就兩級結構，只要找一次就找到掌門了。哪怕不能完全做到，也最好儘量接近。這樣就產生了路徑壓縮演算法。 設想這樣一個場景：兩個互不相識的大俠碰面了，想知道能不能揍。 於是趕緊打電話問自己的上級：“你是不是掌門？” 上級說：“我不是呀，我的上級是誰誰誰，你問問他看看。” 一路問下去，原來兩人的最終boss都是東廠曹公公。 “哎呀呀，原來是記己人，西禮西禮，在下三營六組白麵葫蘆娃!” “幸會幸會，在下九營十八組仙子狗尾巴花！” 兩人高高興興地手拉手喝酒去了。 “等等等等，兩位同學請留步，還有事情沒完成呢！”我叫住他倆。 “哦，對了，還要做路徑壓縮。”兩人醒悟。 白麵葫蘆娃打電話給他的上級六組長：“組長啊，我查過了，其習偶們的掌門是曹公公。不如偶們一起及接拜在曹公公手下吧，省得級別太低，以後查詢掌門麻環。” “唔，有道理。” 白麵葫蘆娃接著打電話給剛才拜訪過的三營長……仙子狗尾巴花也做了同樣的事情。 這樣，查詢中所有涉及到的人物都聚集在曹公公的直接領導下。每次查詢都做了優化處理，所以整個門派樹的層數都會維持在比較低的水平上。路徑壓縮的程式碼，看得懂很好，看不懂也沒關係，直接抄上用就行了。總之它所實現的功能就是這麼個意思。
- #include<iostream>
- usingnamespace std;
- int pre[1050];
- bool t[1050]; //t 用於標記獨立塊的根結點
- int Find(int x)
- {
- int r=x;
- while(r!=pre[r])
- r=pre[r];
- int i=x,j;
- while(pre[i]!=r)
- {
- j=pre[i];
- pre[i]=r;
- i=j;
- }
- return r;
- }
- void mix(int x,int y)
- {
- int fx=Find(x),fy=Find(y);
- if(fx!=fy)
- {
- pre[fy]=fx;
- }
- }
- int main()
- {
- int N,M,a,b,i,j,ans;
- while(scanf("%d%d",&N,&M)&&N)
- {
- for(i=1;i<=N;i++) //初始化
- pre[i]=i;
- for(i=1;i<=M;i++) //吸收並整理資料
- {
- scanf("%d%d",&a,&b);
- mix(a,b);
- }
- memset(t,0,sizeof(t));
- for(i=1;i<=N;i++) //標記根結點
- {
- t[Find(i)]=1;
- }
- for(ans=0,i=1;i<=N;i++)
- if(t[i])
- ans++;
- printf("%d\n",ans-1);
- }
- return 0;
- }//dellaserss
#include<iostream>
using namespace std;
int pre[1050];
bool t[1050]; //t 用於標記獨立塊的根結點
int Find(int x)
{
int r=x;
while(r!=pre[r])
r=pre[r];
int i=x,j;
while(pre[i]!=r)
{
j=pre[i];
pre[i]=r;
i=j;
}
return r;
}
void mix(int x,int y)
{
int fx=Find(x),fy=Find(y);
if(fx!=fy)
{
pre[fy]=fx;
}
}
int main()
{
int N,M,a,b,i,j,ans;
while(scanf("%d%d",&N,&M)&&N)
{
for(i=1;i<=N;i++) //初始化
pre[i]=i;
for(i=1;i<=M;i++) //吸收並整理資料
{
scanf("%d%d",&a,&b);
mix(a,b);
}
memset(t,0,sizeof(t));
for(i=1;i<=N;i++) //標記根結點
{
t[Find(i)]=1;
}
for(ans=0,i=1;i<=N;i++)
if(t[i])
ans++;
printf("%d\n",ans-1);
}
return 0;
}//dellaserss
以下為原文附的程式碼:
回到開頭提出的問題，我的程式碼如下：
#include int pre[1000 ];
int find(int x)
{
int r=x;
while (pre[r ]!=r)
r=pre[r ];
int i=x; int j;
while(i!=r)
{
j=pre[i ];
pre[i ]=r;
i=j;
}
return r;
}
int main()
{
int n,m,p1,p2,i,total,f1,f2;
while(scanf("%d",&n) && n) //讀入n，如果n為0，結束
{ //剛開始的時候，有n個城鎮，一條路都沒有 //那麼要修n-1條路才能把它們連起來
total=n-1;
//每個點互相獨立，自成一個集合，從1編號到n //所以每個點的上級都是自己
for(i=1;i<=n;i++) { pre[i ]=i; } //共有m條路
scanf("%d",&m); while(m--)
{ //下面這段程式碼，其實就是join函式，只是稍作改動以適應題目要求
//每讀入一條路，看它的端點p1，p2是否已經在一個連通分支裡了
scanf("%d %d",&p1,&p2);
f1=find(p1);
f2=find(p2);
//如果是不連通的，那麼把這兩個分支連起來
//分支的總數就減少了1，還需建的路也就減了1
if(f1!=f2)
{
pre[f2 ]=f1;
total--;
}
//如果兩點已經連通了，那麼這條路只是在圖上增加了一個環 //對連通性沒有任何影響，無視掉
}
//最後輸出還要修的路條數
printf("%d\n",total);
}
return 0;
}