數學是一場遊戲

我在國內上中學的時候，150分的數學考試，最低考過27分。

27分大家知道是什麼概念嗎？我們那時候考試用的是答題卡，27分就相當於把這個答題卡放到地上，然後踩兩腳，把鞋印放到機器裡——估計這樣出來的分數也不止27分。

我考27分那次，是我們班的倒數第三名。還有兩個比我更差的，我們三個人現在還是很好的朋友。那兩個人，倒數第二的考了26分，我以一分險勝。他現在在美國一個世界500強的公司擔任副總裁級的高管。考倒數第一的那個人考了9分，9分啊，如果我是兩個鞋印，他就只能是大半個鞋印了。這個人後來考上了英國的牛津大學，現在是全球知名的經濟學家。

所以，如果孩子現在數學成績不好，我們不用太焦慮，它代表不了什麼，既不代表孩子不聰明，也不代表孩子學習能力不好，有一種可能，就是孩子所接受的數學教育，有問題。

別人都用計算器，只有我用草稿紙

先和大家分享我的一個故事。

那是我在英國讀研究生的時候，剛入學沒多久，老師在黑板上講一道題，有一個7×9的算式，我在下面隨口答了一句63，結果引來全班一片驚歎聲。包括老師在內都用特別崇拜的眼光看著我，彷彿看到數學之神了。

英國一直沒有乘法表和乘法口訣。2015年，英國前首相卡梅倫和教育部長摩根兩個人曾經想過在中小學生中推廣乘法表和乘法口訣，結果遭到了媒體和學生家長的一致反對。

特別巧，沒過幾天我們就有一個測驗，我是從來沒有如此期待過數學考試，十多年來從來沒有當過數學的好學生，終於有這個機會了，尤其還是在國外，終於有了為國爭光的機會。

到了考試那一天，老師把考題發下來，然後我發現一個特別奇怪的事，我所有的同學第一個動作就是從書包裡拿出科學計算器，當時我就特別懵，因為我在國內上學的時候，計算器是不能在考試中用的。但是在英國學校裡，計算器是一個必備工具。

所以我眼睜睜的看他們從書包裡拿出計算器，而全班只有我從書包裡拿出來一疊稿紙。

最後的結果，可想而知，全班只有我沒有答完題目，因為別人都是隻要知道方法了，他們就可以用計算器非常快地算出結果，而我把大量的時間都浪費在了計算過程上。

學數學，應該像玩遊戲、看電影

於是我開始反思，數學到底學什麼？我們為什麼要學數學？數學真的跟現實生活息息相關嗎？我們學數學到底學的是什麼？

為什麼國外學校可以容忍我們認為的特別低階的運算無能，但是他們卻依然能夠培養出那麼多優秀的數學家？我們學數學究竟是學一種運算技巧，還是學一種數學思維？我反思的結論是：數學應該是一場遊戲。

我們把數學公式背得很熟練，把幾何原理背得很熟練，然後以此不斷地做各種各樣的題，這就相當於我們玩遊戲的時候，不讓你體驗遊戲的過程，只告訴你，摁前進，摁五下，然後跳，往左邊走，然後打，最後到了關卡……你記住上上下下，左右左右，ABBA，你把這些都記住，然後一遍一遍去訓練，就可以完成任務。

已經知道了所有公式，即使運用得再熟練，也無助於我們體驗遊戲的精髓。我們需要具備的，是獨立的思考、有創造力的思考，而不是“被訓練”。就如高斯所說：“我們需要的是想法，而不是符號。”

學數學，還應該像看電影、看書。比如，我們看《西遊記》，不告訴你唐僧為什麼取經，他經歷了什麼事情，就告訴你唐僧經過了九九八十一難，最後取回了真經，你要記住這八十一難都是什麼，這個順序還不能亂，最後考試的時候，你要把每一難的名字答上去，就算通過了。

這樣的閱讀是正確的嗎？如果這樣看書是不對的，為什麼這樣學數學就是對的呢？

巧解數學更考驗創造力

既然數學是一種遊戲，那麼，我們完全可以在想象的世界裡去制定規則，考驗自己的創造力。

我們舉一道“雞兔同籠”題，相信所有的孩子都被考過這道題：

“籠子裡有雞和兔若干只， 籠子裡有25個頭和70只腳。問：兔子和雞各有多少隻？”

我不知道大家是怎麼做的題，我就記得我學這道題時，是在第一次學一元一次方程式，老師告訴我標準答案是：

我們假設兔的數量是 X： 

4X＋2×（25－X）=70

X＝10

兔子＝10（只）

雞＝25－10＝15（只）

這麼做對不對呢？肯定是對的。那這道題這麼做好玩嗎？肯定不好玩。

“雞兔同籠”其實有特別多的證法，我給大家舉一個特別好玩的例子。

你想象一個世界，這一籠子的兔子和雞就在這個想象的世界裡，你站在這個籠子前面，一聲令下，所有的動物都擡起一隻腳，這個時候還有多少隻動物站著？

70－25＝45只，還有45只腳站著，你再一聲令下，所有動物又都擡起一直腳站著，這時候還有45－25＝20只腳站著，但是雞已經一屁股坐地上了，因為雞隻有兩隻腳全擡起來了，那站著的全是兔子，這20只腳全是兔子的，所以兔子有10只，雞就是15只。

這樣解這道題就好玩。

這道題還有很多種解法，我們還有一種解法：

假設雞也有四隻腳，那25個動物裡面應該有100只腳，那為什麼只有70只腳呢？因為有30個（100－70＝30）翅膀沒有算做腳嘛！

那30個翅膀肯定就是雞的了，所以就是15只雞。

我們再舉個例子。這是一個矩形，就是一個長方形，長方形裡面有一個三角形，問題就是：這個綠色的三角形面積和旁邊藍色三角形面積的比是多少？

正常來說我們的標準答案是：

三角形的面積＝1／2×底×高

矩形面積＝底×高

這麼一算，矩形內三角形內和三角形外的面積比是1：1

這麼解對不對呢？肯定對！那這麼解好不好玩呢？肯定不好玩。

我們來說另外一種解法，還是放到我們想象的世界裡：

把它想象成一張紙，我們從三角形頂點向下畫一條線，把它撕開，它變成了兩個方形。

每一個方形都被對角線分割成了一模一樣的兩個部分，也就是每一個方形裡面綠色和藍色部分的面積都是一樣的，他們合起來的面積也是一樣的，也是1：1。

我們可以不知道那些公式、定理，但在想象的世界裡，把這些東西做得很有意思。這就是數學的意義，這就是數學訓練我們的真正的目的——不是訓練什麼計算能力，而是訓練一種數學思維。

從數學角度來說

減肥是不可能的

那麼，什麼是“數學思維”呢？

百度對數學思維的概念是這樣：數學思維是數學的思考問題和解決問題的思考形式，也就是能夠用數學的觀點去思考問題和解決問題的能力，比如轉化與劃歸、從一般到特殊、特殊到一般、函式/對映的思想等等。

說得對，但不好懂。我怎麼理解數學思維的呢？數學思維就是遊戲思維，就是窮盡你的想象力去創造一個世界，然後用嚴謹的論證和邏輯推理去得到一個答案，是一種高度抽象並解決問題的能力。

數學思維給你的是重新看世界的一雙眼睛，看這個世界的另外一種眼光。有的時候它可能跟我們對這個世界的直覺理解會比較大的的區別。

我舉個例子——我們知道，自然數、奇數、偶數。

1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12…… 自然數

2，4，6，8，10，12，14，16，18，20…… 偶數

1，3，5，7，9，11，13，15，17，19…… 奇數

但大家覺得，自然數、偶數和奇數這三種數，哪個數的數目多？

我們從直覺上感覺，偶數和奇數組合成了自然數，自然數自然比它們多，但是從數學角度來說，它們三個數是一樣多的，因為他們三個的數目都是無窮。

我們再舉個例子。一個屋子裡有23個人，他們有兩個人的生日是同一天的可能性大不大？

直覺來說，我們出去坐公交車、去機場等經常會碰見很多人，但我們都不會覺得在這麼多人裡面會有兩個人的生日一樣。但從數學的角度來說，在23個人的這個人群裡，有兩個人的生日是同月同日的概率超過50%。

為什麼？因為我們把每一個人的生日和另外22個人作對比，那它就是有253次對比的機會，在這253次對比中出現相同的概率是非常高的，這個被稱為“生日悖論”。在計算機裡面呢，有一種專門破解密碼的方式叫做生日攻擊，它的原理就是從生日悖論來的。

我再舉個悖論例子——減肥，從某種數學的角度來說，減肥這個事是不可能的。因為想要減掉10斤，首先得減掉5斤，那想減掉5斤，就得先減掉2.5斤，想要減掉2.5斤，就先得減掉1.25斤。這個是無窮的對摺，但人無法減掉一個無窮的數，所以減肥是不可能的。

就像龜兔賽跑。只要烏龜先跑，兔子就永遠都追不上。為什麼？因為兔子永遠要到達烏龜之前到達的那一個點，那兔子只要到達那一個點，那烏龜就又往前移動了，所以兔子永遠都無法追上烏龜。

我們知道這個在現實生活中是不可能的，但大家想想，這一個一個的著名“悖論”，就是數學家在玩的一個一個遊戲。如果我們學數學是希望“有用”，那我告訴大家，你只要學會加減法，會用計算器就可以了。

但如果我把每一個數字都看成遊戲中的一個元素，忘掉所有的公式和定理，用自己願意、喜歡的方法去求證問題，然後不斷試錯，我們就能鍛鍊起來數學思維。

玩真正的遊戲對於提升數學思維也大有裨益，比如象棋、圍棋、桌遊。我曾親眼見到了一個十歲的孩子在玩數學推理的桌遊，名字叫“達芬奇密碼”，把兩個二十八九歲、有碩士學位的成年人打得大敗。

而如果，我們要強調數學到底在我們現實中有什麼意義，那可以說，數學思維讓我們有更理性的思考，更有邏輯的分析。能夠用另外一種眼光來看這個世界。最起碼，它能讓我們少上一些當，能讓我們看穿一些初級騙局。

∑編輯 | Gemini

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