優秀書籍

某出版社的《哈里波特》系列共有5卷，每本單賣都是8塊錢，如果讀者一次購買不同的k（k>=2）卷，就可以享受不同的折扣優惠，如下所示：

求，如果買一批書的最低價格，即最大折扣

符號說明：

按照書上的記法，假設Y1>=Y2>=Y3>=Y4>=Y5>=0，n=Y1+Y2+Y3+Y4+Y5

假設a,b,c,d,e分別是5本書的名字，僅僅是名字，不是變數

用【ab】表示1個部分有2本書，是a和b，這2本書享受2本書的5%的折扣，用【acde】表示1個部分有4本書等等以此類推

雖然這11個結論對本題已經不成立了，但是這11個條件卻還成立，但是敘述上得改一下。

以（4,4,4）<（5,5,2）為例，

也就是說，因為有著書分為不同的5卷這個限制，可以拆分成4+4+4的12本書不一定可以拆分成5+5+2。

定理一，所有的大小為1的部分可以表示成若干個（若干個可能是0個，下同）【a】

證明：因為（1,1）<（2）所以【a】和【b】不共存，否則可以用【ab】代替

定理二，所有的大小為2的部分可以表示成若干個【ab】和若干個【ac】

證明：因為（2,2）<（4）所以【ab】和【cd】不能共存

因為（2,2,2）<（3,3）所以【ab】【bc】【ac】不能共存，否則可以用【abc】和【abc】這2個部分代替

因為（2,2,2）（1,1,4）所以【ab】【ac】【ad】不能共存，否則可以用【a】【a】【abcd】這3個部分代替

綜合這3個限制即可得到定理二

定理三，所有的大小為3的部分可以表示成若干個【abc】

證明：因為（3,3）<（2,4），所以【abc】和【abd】不能共存，否則可以用【abcd】和【ab】這2個部分代替

而且【abc】和【ade】不能共存，否則可以用【abcd】和【ae】這2個部分代替

所以2個不一樣的大小為3的部分是不能共存的

定理四，所有的大小為4的部分可以表示成若干個【abcd】和若干個【abce】

證明：因為（4,4,4）<（2,5,5）所以【abcd】【abce】【abde】不能共存，否則可以用【abcde】和【abcde】和【ab】這3個部分代替

所以3個不一樣的大小為4的部分是不能共存的

定理五，n本書可以表示成若干個【a】和若干個【ab】和若干個【ac】和若干個【abc】和若干個【abcd】和若干個【abce】和若干個【abcde】

證明：首先根據定理四可得，大小為4或5的部分可以表示成若干個【abcd】和若干個【abce】和若干個【abcde】

注意：定理三隻是說2個不一樣的大小為3的部分是不能共存的，在沒有限制條件下可以不妨設都是【abc】，但是在現在已經表示出大小為4或5的部分之後，就不能這樣不妨設了，還需要別的條件才行。

因為（3,4）<（2,5），所以如果2個部分分別有3本書和4本書，那麼這4本書一定包含這3本書，例如【abc】和【abcd】

注意，這裡不能根據【abcd】和【abce】求交集得到大小為3的部分只能是【abc】，因為【abcd】和【abce】都可能不存在，還可能都不存在。但是，無論【abcd】是否存在，也無論【abce】是否存在，都可以不妨設大小為3的部分都是【abc】

因為（2,3）<（1,4），所以如果2個部分分別有2本書和3本書，那麼這3本書一定包含這2本書，例如【ab】和【abd】

因為（2,4）<（1,5），所以如果2個部分分別有2本書和4本書，那麼這4本書一定包含這2本書，例如【ab】和【abde】

同上，根據定理二，無論【abcd】是否存在，也無論【abce】是否存在，也無論【abc】是否存在，都可以不妨設所有的大小為2的部分可以表示成若干個【ab】和若干個【ac】

同理，因為（1,2）<（3），（1,3）<（4），（1,4）<（5），所以根據定理一，無論【abcd】是否存在，也無論【abce】是否存在，也無論【abc】是否存在，也無論【ab】是否存在，也無論【ac】是否存在，都可以不妨設所有的大小為1的部分可以表示成若干個【a】

綜上可得定理五

下面根據定理五求解n可能表示成哪幾種情況

因為（1,3）<（2,2），所以2個部分分別有1本書和3本書是不可能的，即n1*n3=0

因為（3,5）<（4,4），所以2個部分分別有3本書和5本書是不可能的，即n3*n5=0

因為（2,2,5）<（1,4,4），所以【ab】和【ac】和【abcde】不能共存，否則可以用【a】【abcd】【abce】這3個部分代替

第1種情況，n3!=0

那麼n1=0，n5=0，n本書是若干個【ab】和若干個【ac】和至少1個【abc】和若干個【abcd】和若干個【abce】

第2種情況，n3=0且n5!=0

那麼【ab】和【ac】不能共存，不妨設【ac】不存在

那麼n本書是若干個【a】和若干個【ab】和若干個【abcd】和若干個【abce】和至少1個【abcde】

第3種情況，n3=0且n5=0

那麼n本書是若干個【a】和若干個【ab】和若干個【ac】和若干個【abcd】和若干個【abce】

下面討論根據Y1>=Y2>=Y3>=Y4>=Y5>=0，如何求出n的準確表示

首先，如何區分這3種情況？

第1種情況中，c的數量大於d和e的數量之和，a和d和e的數量之和小於b和c的數量之和

第2種情況中，c的數量小於d和e的數量之和

第3種情況中，c的數量大於或等於d和e的數量之和，a和d和e的數量之和大於或等於b和c的數量之和

這樣就區分開了3種情況。

現在的問題是abcde和Y1Y2Y3Y4Y5如何對應？

神奇的是，不妨設a對應Y1，b對應Y2，c對應Y3，d對應Y4，e對應Y5

於是得到下列結論：

第1種情況是Y1-Y3個【ab】和Y1-Y2個【ac】和Y2+Y3-Y1-Y4-Y5>0個【abc】和Y4個【abcd】和Y5個【abce】

第2種情況是Y1-Y2個【a】和Y2-Y3個【ab】和Y3-Y5個【abcd】和Y3-Y4個【abce】和Y4+Y5-Y3>0個【abcde】

第3種情況是Y1+Y4+Y5-Y2-Y3個【a】和Y2-Y4-Y5個【ab】和Y3-Y4-Y5個【ac】和Y4個【abcd】和Y5個【abce】

如果Y4+Y5-Y3>0就是第2種情況，否則的話

如果Y2+Y3-Y1-Y4-Y5>0就是第1種情況，否則就是第3種情況