其實這篇文章主要討論為何向量叉積這樣定義，標題是為了吸引人，讓更多有同樣疑惑的人搜到。
記得上大學時的第一節課是《空間解析幾何》，和大多數的教材一樣，開篇就是向量點積和叉積的定義。點積的定義很好理解 ，a·b（為了討論方便，之後都假設b為單位向量）可以看成向量a在向量b方向上的投影長度。

（圖1）

叉積的定義就比較奇怪了，按理說a·b是a在平行於b方向上的分量上的長度，相應的a×b應該是a在垂直b方向上的分量的長度，也就是上圖中虛線部分。然而a×b被定義成了一個向量，方向垂直於oab平面（在這裡，如果用右手法則的話，垂直紙面向裡）。將叉積定義為向量還好理解，這個奇怪的方向是什麼鬼？

閒話少說，先上結論：為了滿足乘法交換律。
乘法的三大運算定律：
1.乘法分配律
兩個數的和同一個數相乘,等於把兩個加數分別同這個數相乘,再把兩個積加起來,和不變。
(a+b)×c =a×c+b×c
2.乘法結合律
三個數相乘，先把前兩個數相乘，再和另外一個數相乘，或先把後兩個數相乘,再和另外一個數相乘，積不變。
a×b×c=a×(b×c)
3.乘法交換律
乘法交換律是兩個數相乘,交換因數的位置,它們的積不變。
a×b=b×a
點積和叉積作為我們定義的乘法，要儘量滿足這三個運算定律。所謂儘量滿足，就是說不做強制要求，三個滿足不了就先滿足兩個，兩個滿足不了就先滿足一個，一個都滿足不了還是不要叫他乘法了，換個名字吧。當然滿足得越多越好，實在滿足不了，近似滿足也可以接受。

下面分別來檢驗點積和叉積是否滿足乘法運算定律。由於結合律作用不大，應用的也比較少，這裡暫時不做檢驗，只檢驗分配律和交換律。

點積a·b

（圖2）

向量a分解成了兩個向量a1和a2,a=a1+a2
a·b=OX2的長度(假設b為單位向量)
a1·b=OX1的長度
a2·b=X1X2的長度
明顯 OX2的長度 = OX1的長度+X1X2的長度
亦即 a·b=a1·b+a2·b 分配律成立
再來看看交換律
按點積的定義a·b = a的長度×b的長度×cos(a和b的夾角)
b·a = b的長度×a的長度×cos(b和a的夾角)
都是數值的運算 所以a·b=b·a 交換律成立
然而點積也有一點不合理之處，兩個向量的點積結果是一個標量，方向丟掉了。假如我們把點積的結果定義為一個向量是不是可以呢？反正定義都是人為的，我們重新定義點積也未嘗不可。好，我們就把a·b 定義為一個向量，大小和之前一樣，是a的長度×b的長度×cos(a和b的夾角)，方向是b的方向，也就是a在b方向上的水平分量，對應上圖中的向量OX2。
按照新定義的點積
a·b=向量OX2
a1·b =向量OX1
a2·b =向量X1X2
向量OX2=向量OX1+向量X1X2,
所以按新定義的點積，分配律是成立的
我們再來看看交換律

按我們定義的點積a·b的朝向是b方向，b·a的朝向是a方向，兩個點積的方向不同，交換律不成立。這就是將點積定義為標量而不是向量的原因，也可以說點積為了滿足交換律放棄了結果的方向。

叉積a×b

同樣的我們來重新定義叉積，將叉積a×b定義為a在b的垂直方向上的分量，接著和點積一樣去掉方向將結果定義為標量，看下圖

（圖4）

a×b = y0y2的長度，
a1×b = y0y1的長度，
a2×b = y1y2的長度，
和點積的情況是一樣的，滿足分配律也滿足交換律，完美。
但是我們這裡都是在二維的情況下來考量的，我們來看看三維空間下是什麼情況：

（圖5）

向量a分解為兩個向量OA1和A1A2(A1和A2分別是向量a1，a2的頂點，圖上未畫出來)，p1和p2是垂直於b的平面，虛線部分的長度就是我們定義的叉積a1×b

（圖6）

上圖虛線部分的長度就是我們定義的叉積a2×b
我們將p1，p2平面合到一起

（圖7）

從前兩圖的視線方向看，就是下面的效果：

（圖8）

這裡為了畫圖方便，選擇了兩個比較極端的分量a1，a2。
從上面的最後一張圖上看，虛線部分的長度之和明顯大於實線部分的長度(也就是a×b ),新定義的叉積不滿足分配律。
仔細看上圖，三條線段組成了一個閉合的三角形，將每一個線段看成一個向量：

（圖9）

則a×b = a1×b + a2×b，也就是說我們修改下定義，把叉積定義為一個向量就能滿足分配律了。

再來看交換律，回頭看圖(3),按我們現在的定義a×b 和b×a 分別垂直b和a，方向不一致，不滿足交換律。
這時候如果我們修改定義將a×b繞著b軸按左手法則旋轉90度，這時a×b垂直a,b所在平面，如下圖左半部分

(圖10)
當然按右手法則旋轉也是可以的，這裡主要是為了和書本上的定義一致。
同時我們對b×a進行同樣的操作，看圖(10)右半部分。我們看到a×b和b×a都垂直於平面，在一條直線上，但是方向相反(大小相等我們就不做過多解釋了)，即：
a×b = -b×a
近似滿足了乘法交換律，只要我們能夠接受這個多出來的負號。

那麼問題來了，跟挖掘機技術無關，修改過定義以後的叉積還滿足分配律嗎？
答案是肯定的。看圖(9)，a×b，a1×b，a2×b三個向量是未做旋轉前的叉積向量，這時的b軸垂直紙面朝裡，這三個向量在一個平面上，且這個平面垂直於b軸。
我們對圖(9)稍作修改

圖(11)
將a2×b移至和b軸相交處，將整個平行四邊形逆時針旋轉90度，a×b，a1×b，a2×b都旋轉了90度，平行四邊形的形狀沒有發生改變，
a×b = a1×b + a2×b
仍然成立。

另外，之前點積也是在二維的情況下討論的，在三維空間下還滿足乘法分配律和交換律嗎？
這個問題就留給聰明的你了。