Permutation Sequence

原題連結Permutation Sequence

給定n和k，求[1,2,3,...,n]這個序列的全排列中第k個排列

可以呼叫k次next_permutation獲取結果，但是next_permutation內部實現比較慢。
首先考慮能不能確定第k個排列是以哪個數字開頭的呢，以[1,2,3,4]的全排列為例，找第14個排列

• 以1開頭的排列總共有3!個，原因是第一個位置是1，剩下3個位置可以隨便排列，有6個
• 以2開頭的排列總共有3!個，原因是第一個位置是2，剩下3個位置可以隨便排列，有6個
• 此時已經有12個排列
• 所以剩下的兩個排列即第14個排列一定在以3開頭的排列中

用這種方式繼續縮減數量，以3開頭的排列中最小的為[3,1,2,4]，3已經固定，那麼就找[1,2,4]的全排列的第2個排列，就是整個排列的第14個排列

• 以1開頭的排列共有2!個，原因是第二個位置是1，剩下2個位置可以隨便排列，有2個
• 此時已經有兩個排列，可以確定結果一定在以[3,1]開頭的排列中，即[3,1,2,4]或[3,1,4,2]

繼續縮減數量，以[3,1]開頭的排列中最下的為[3,1,2,4]，[3,1]已經固定，那麼就找[2,4]的全排列的第2個排列，就是[1,2,4]的全排列的第2個排列，也就是整個排列的第14個排列

• 以2開頭的排列共有1!個，原因是第三個位置是2，剩下一個位置給4，有1個
• 以4開頭的排列共有1!個，原因是第三個位置是4，剩下一個位置給12，有1個
• 此時已經有兩個排列，可以確定結果是以4開頭的排列，即[4,2]，所以結果為[3,1,4,2]

所以，可以每次確定一個大範圍，在大範圍的基礎上進一步縮小範圍，直到最後只有一個數字為止。遍歷n遍即可。

假設某次需要找到第k個排列（k從1開始），以第i個位置開頭（i從1開始），上述過程可以表示為
要找的排列的開頭是所剩數字中的第k / (n-i)!個 （整除）或第k / (n-i)! + 1個（非整除）數字，（從1開始）

原因
上述第一步，序列為[1,2,3,4]，k為14，i為1，(n-i)!為6，k / (n-i)!為2，此時因為要找第14個排列（從1開始），以1,2開頭的各佔6個，所以在以3開頭的排列中找，所以應該是k / (n-i)! + 1（非整除），即第3個數字，從1開始，為3
上述第二步，序列為[1,2,3]，確定以3開頭後，k為2，i為2，(n-i)!為2，k / (n-i)!為1，此時因為要找第2個排列，以1開頭的就有2個，所以在以1開頭的排列中找，所以應該是k / (n-i)! （整除），即第1個數字，從1開始，為1

上面需要根據情況討論的原因是位置索引都是從1開始的，如果索引從0開始，那麼就不會有這麼多問題，此時k為14，即要找第13個排列（從0開始）
上述第一步，序列為[1,2,3,4]，k為13，i為1，(n-i)!為6，k / (n-i)!為2，k / (n-i)!為2，即第2個數字（從0開始），為3
上述第二步，序列為[1,2,3]，確定以3開頭後，k為1，i為2，(n-i)!為2，k / (n-i)!為0，即第0個數字，為1

程式碼如下

class Solution {
public:
    string getPermutation(int n, int k) {
        vector<int> factorial(n+1, 1);
        for(int i = 2; i <=n; ++i)
            factorial[i] = i * factorial[i - 1];

        vector<int> nums;
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
            nums.emplace_back(i);

        string res("");
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
        {
            /* 找開始點 */
            int index = k / factorial[n - i];
            /* 如果非整除，加一 */
            if(k % factorial[n - i] != 0)
                ++index;
            res += (nums[index - 1] + '0');
            nums.erase(nums.begin() + index - 1);
            k = k - ((index - 1) * factorial[n - i]);
        }

        return res;
    }
};