在談矩陣空間之前，我們先來看看常見的一個線性方程組的問題：

$\mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b}$

其中，$\mathbf{A} \in \mathbf{R}^{m \times n}$, $\mathbf{x} \in \mathbf{R}^{n}$, $\mathbf{b} \in \mathbf{R}^{n}$, 很多時候，我們都是希望解決這樣一個線性方程組的問題。

我們可以把矩陣 $ \mathbf{A}$ 拆成一系列列向量的組合，$\mathbf{A} = \{ \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, ..., \mathbf{a}_n \}$

$\mathbf{A} \mathbf{x} = x_1 \mathbf{a_1} + x_2 \mathbf{a}_2 + ... + x_n \mathbf{a}_n$

所以說，矩陣和列向量的相乘，就相當於矩陣的列向量的一個線性組合。所以，這就引出了我們關於矩陣空間的第一個形式：

• 矩陣的列空間： 矩陣的列空間，就是矩陣的列向量的所有的線性組合的集合，這個空間也是 $\mathbf{R}^{m}$ 裡的一個子空間。

可以想象，矩陣的列向量的線性組合，構成了一個關於向量加法和數乘的封閉集合。如果我們希望 $\mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b}$ 有解，其實也就是說向量 $\mathbf{b}$ 應該存在於該子空間內。

介紹了矩陣的列空間之後，我們再來看看一種特殊的空間，矩陣的零空間，先來看看下面的表示式：

$\mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{0}$

與上面的表示式不同的是，這次右邊是一個 $\mathbf{0}$

• 矩陣的零空間： 就是使得 $\mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{0}$ 的所有解向量 $\mathbf{x}$ 所構成的一個集合，這個零空間同時也是 $\mathbf{R}^{n}$ 裡的一個子空間。

關於， $\mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{0}$，我們可以繼續探討一下，從上面的表示式可以知道：

$\mathbf{A} \mathbf{x} = x_1 \mathbf{a_1} + x_2 \mathbf{a}_2 + ... + x_n \mathbf{a}_n = \mathbf{0}$

如果說，上面的線性方程組有且只存在唯一的一個解：$\mathbf{x} = \mathbf{0}$，這意味著什麼呢，這就說明 $\mathbf{A}$ 中的任何一個列向量都無法等價於其他列向量的線性組合，這就是我們所說的線性無關。如果矩陣的任何一個列向量都無法被其他的列向量線性表示，那麼我們可以說這組列向量是線性無關的。對於三維空間來說，如果三個向量是線性無關的，那麼可以肯定這三個向量肯定是不共面的。

從線性無關出發，我們可以繼續探討 span 的概念，我們都已經說過，向量空間就是一個集合，如果把向量看成是空間中的一個個的 “點”，那麼空間就相當於這一個個點的集合。比如我們說的三維空間，三維空間中的向量有無數個，但是我們可以找到幾個獨特的向量，從這幾個向量出發，三維空間中的所有其他向量都可以由這幾個向量的線性組合表示。那麼我們就說這幾個向量 span 了整個向量空間。同樣的：

• 矩陣的列向量 span 了矩陣的整個列空間

從 span 和線性無關，我們可以引入基向量的概念，一個空間的基向量，必須滿足兩個條件：一個是線性無關，另外一個是必須可以 span 整個空間，所以說一組基向量，就是一組線性無關，並且可以 span 起整個空間的一組向量。

• 一個空間裡的基向量不是唯一的。