【數位DP】專題

阿新 • • 發佈：2019-02-12

<數位DP>

　　　　所謂數位DP就是基於考慮數字的每一位來轉移的DP。

　　　　例如求比456小的數，可以這麼考慮，

　　　　　　　　4 5 6

　　　　　　　 4　 5 (0~6)

　　　　　　　　4 (0~4) (0~9)

　　　　　　　　(0~3)(0~9) (0~9)

通常數位DP可以寫成如下記憶話搜尋形式.某神牛模板

int dfs(int i, int s, bool e) {
    if (i==-1) return s==target_s;
    if (!e && f[i][s] != -1) return f[i][s];
    int res = 0;
    int u = e?num[i]:9;
    for (int d = first?1:0; d <= u; ++d)
        res += dfs(i-1, new_s(s, d), e&&d==u);
    return e?res:f[i][s]=res;
}

f為記憶化陣列, 初始為-1；

i為當前處理串的第i位（權重表示法，也即後面剩下i+1位待填數）；

s為之前數字的狀態（如果要求後面的數滿足什麼狀態，也可以再記一個目標狀態t之類，for的時候列舉下t）；

e表示之前的數是否是上界的字首（即後面的數能否任意填）。

例如考慮456 這個數字，現在要填個位，如果前面是45*，說明已經到達了上屆， e = 1，個位只能填(0 ~ 6)。如果是44*,說明還沒到達上屆，e = 0，可以填（0 ~ 9）

下面是一些簡單題，可以體會模板作用：

不吉利的數字為所有含有4或62的號碼。例如：
62315 73418 88914
都屬於不吉利號碼。但是，61152雖然含有6和2，但不是62連號，所以不屬於不吉利數字之列。
你的任務是，對於每次給出的一個牌照區間號，推斷出交管局今次又要實際上給多少輛新的士車上牌照了。

/***********************************************
 * Author: fisty
 * Created Time: 2015/6/11 15:14:26
 * File Name   : hdu2089.cpp
 *********************************************** */
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <deque>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <bitset>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define Debug(x) cout << #x << " " << x <<endl
#define Memset(x, a) memset(x, a, sizeof(x))
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> P;
#define FOR(i, a, b) for(int i = a;i < b; i++)
int n, m;
int f[8][2];
int digit[10];
int cal_len(int x){
    int sum = 0;
    while(x){sum++; x /= 10;}
    return sum;
}
void cal_digit(int x, int len){
    Memset(digit, 0);   
    FOR(i, 1, len+1){
        digit[i] = x % 10;
        x /= 10;
    }
}
int dfs(int len, int s, int e){
    if(len == 0) return 1;
    if(!e && f[len][s] != -1) return f[len][s];
    
    int ans = 0;
    int u = e ? digit[len] : 9;
    for(int d = 0;d <= u; d++){
        if(d == 4 || (s && d == 2)) continue;
        ans += dfs(len-1, d == 6, e && d == u);
    }
    return e ? ans : f[len][s] = ans;
}
int solve(int x){
    int len = cal_len(x);
    cal_digit(x, len);

    int res = dfs(len, 0, 1);
    return res;
}
int main() {
    //freopen("in.cpp", "r", stdin);
    cin.tie(0);
    ios::sync_with_stdio(false);
    Memset(f, -1);
    while(cin >> n >> m){        
        if(!n && !m) break;
        cout << solve(m) - solve(n-1) << endl;
    }
    return 0;
}

2.hdu3555 Bomb

統計含有‘49’子串數字的個數

/***********************************************
 * Author: fisty
 * Created Time: 2015/6/11 15:37:12
 * File Name   : hdu3555.cpp
 *********************************************** */
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <deque>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <bitset>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define Debug(x) cout << #x << " " << x <<endl
#define Memset(x, a) memset(x, a, sizeof(x))
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> P;
#define FOR(i, a, b) for(int i = a;i < b; i++)
LL n;
LL f[31][2][2];
int digit[35];
LL z[35];
LL dfs(int len,int have, int s, int e){
    if(len == -1) return have;
    if(!e && f[len][have][s] != -1) return f[len][have][s];
    
    LL ans = 0;
    int u = e ? digit[len] : 9;
    for(int d = 0;d <= u; d++){
        if(s && d == 9){
            ans += dfs(len-1, 1, d == 4, e && d == u);
        }else{
            ans += dfs(len-1,have, d == 4 , e && d == u);
        }
    }
    return e ? ans : f[len][have][s] = ans;
}
LL solve(LL x){
    Memset(digit, 0);
    int len = 0;
    while(x){
        digit[len++] = x%10;
        x /= 10;
    }
    return dfs(len-1, 0, 0, 1);
}
int main() {
    //freopen("in.cpp", "r", stdin);
    cin.tie(0);
    ios::sync_with_stdio(false);
    int t;
    cin >> t;
    while(t--){
        cin >> n;
        Memset(f, -1);
        cout << solve(n) << endl;
    }
    return 0;
}

3.HDU4734 F(x) For a decimal number x with n digits (A _nA _n-1A _n-2 ... A ₂A ₁), we define its weight as F(x) = A_n * 2^n-1 + A_n-1 * 2^n-2 + ... + A₂ * 2 + A₁ * 1. Now you are given two numbers A and B, please calculate how many numbers are there between 0 and B, inclusive, whose weight is no more than F(A).
題意：
　我們定義十進位制數x的權值為f(x) = a(n)*2^(n-1)+a(n-1)*2(n-2)+...a(2)*2+a(1)*1，a(i)表示十進位制數x中第i位的數字。

　題目給出a，b，求出0~b有多少個權值不大於f(a)的數。

思路：
　而對於這道題，我們可以用dp[len][s]表示長度為len且權值不大於s的數。

　　這道題用記憶化搜尋，除邊界條件外記錄dp[len][s]的值，下一次發現以前已經計算過了就可以直接return；

　　初值：dp[len][s] = -1;

　　　　　dfs(len, s, e)表示求長度為len，不超過pre的所有符合條件的值。其中e是用來控制邊界的。

　　　　　dfs過程中當深搜的邊界，發現len < 0，s >=0 的時候就返回1.

<pre name="code" class="cpp">/***********************************************
 * Author: fisty
 * Created Time: 2015/6/11 17:48:26
 * File Name   : hdu4734.cpp
 *********************************************** */
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <deque>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <bitset>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define Debug(x) cout << #x << " " << x <<endl
#define Memset(x, a) memset(x, a, sizeof(x))
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> P;
#define FOR(i, a, b) for(int i = a;i < b; i++)
#define MAX_N 11
int t;
int a, b;
int f[MAX_N][200000];
int digit[MAX_N];
int dfs(int len, int s, int e){
    if(len < 0) return s >= 0;
    if(s < 0) return 0;
    if(!e && f[len][s] != -1) return f[len][s];

    int ans = 0;
    int u = e ? digit[len] : 9;
    for(int d = 0;d <= u; d++){
        ans += dfs(len-1, s - d*(1<<len), e && d == u);
    }
    return e ? ans : f[len][s] = ans;
}
int _f(int x){
    int sum = 0;
    int k = 1;
    while(x){
        sum += ((x % 10) * k);
        x /= 10;
        k *= 2;
    }
    return sum;
}
int solve(){
    int len = 0;
    Memset(digit, 0);
    while(b){
        digit[len++] = b % 10;
        b /= 10;
    }
    //Debug(_f(a));
    return dfs(len-1, _f(a), 1);    
}
int main() {
    //freopen("in.cpp", "r", stdin);
    cin.tie(0);
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> t;
    int cnt = 1;
    
    Memset(f, -1);
    while(t--){

        cin >> a >> b;
        cout << "Case" << " #" << cnt++ << ": ";
        cout << solve() << endl;
    }
    return 0;
}

4、HDU 3652 B-number
判斷字串中有13並且可以被13整除

記憶話搜尋時添件一維mod，表示是否可以被13整除

/***********************************************
 * Author: fisty
 * Created Time: 2015/6/13 9:36:14
 * File Name   : hdu3652.cpp
 *********************************************** */
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <deque>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <bitset>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define Debug(x) cout << #x << " " << x <<endl
#define Memset(x, a) memset(x, a, sizeof(x))
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> P;
#define FOR(i, a, b) for(int i = a;i < b; i++)
#define MAX_N 16
int f[MAX_N][MAX_N][3];
int digit[MAX_N];
int dfs(int len, int mod, int s, int e){

    if(len <= 0) return mod == 0 && s == 2;
    if(!e && f[len][mod][s] != -1) return f[len][mod][s];
            
    int u = e ? digit[len] : 9;
    int ans = 0;
    for(int d = 0;d <= u; d++){
        int _mod = (mod*10 + d) % 13; //判斷 mod 13 是否為0
        int _s = s;
        if(s == 0 && d == 1)
            //上一位不是1, 這一位是1
            _s = 1;
        if(s == 1 && d != 1)
            //上一位是1, 這一位是3,說明含有13這個子串
            _s = 0;
        if(s == 1 && d == 3)
            _s = 2;
            
        ans += dfs(len-1, _mod, _s, e && d == u);
    }
    return e ? ans : f[len][mod][s] = ans;
}
int main() {
    //freopen("in.cpp", "r", stdin);
    cin.tie(0);
    ios::sync_with_stdio(false);
    int n;
    while(cin >> n){
        Memset(digit, 0);
        Memset(f, -1);
        int len = 0;
        while(n){
            digit[++len] = n % 10;
            n /= 10;
        }
        cout << dfs(len, 0, 0, 1) << endl;
    }
    return 0;
}

5.hdu3709 Balanced Number

求區間[L, R]內平衡數的個數仍然採用 [0, R] - [0, L-1]的形式

平衡數的定義是指，以某位作為支點，此位的左面（數字 * 距離）之和與右邊相等,距離是指某位到支點的距離;

對於一個數4234 ，要列舉每一位為支點，判斷這個數是否為平衡數。

題解連結

中檔題

主要是狀態進行轉移的時候，把十位的數進行壓縮，再進行轉移時比較獨特

為在[L, R]區間中，組成數字嚴格上升並且長度為K的個數

主要是狀態的變化，

這裡用了狀態壓縮來壓縮一個10位數，對於1356 長度不變的情況下如果要插入4，更具O(nlgn)
的LIS演算法，會更新成1346，是找到裡面 a[i] > 4的第一個數，把他從原狀態中去掉(s ^ (1 << i)) 再把x = 4 加上的情況 s‘ | (1 <<ｘ)

題解

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