最大子段和四種求法
給定n(1<=n<=100000)個整數(可能為負數)組成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n],求該序列如a[i]+a[i+1]+…+a[j]的子段和的最大值。當所給的整數均為負數時定義子段和為0,依此定義,所求的最優值為: Max{0,a[i]+a[i+1]+…+a[j]},1<=i<=j<=n。 例如,當(a[1],a[2],a[3],a[4],a[5],a[6])=(-2,11,-4,13,-5,-2)時,最大子段和為20.
第一種 暴力求解 最費時 時間複雜度O(n^3)
int maxsum(int a[],int n)
{
int sum , maxsum;
sum = maxsum = 0;
int i ,j , k;
for(i = 0;i<n;i++)
{
for(j = i;j<n;j++)
{
sum = 0;
for(k = i;k<=j;k++)
sum+=a[k];
if(sum>maxsum)
maxsum = sum;
}
}
return maxsum;
}
第二種 在第一種上的改進版 時間複雜度O(n^2)
int maxsum(int a[],int n)
{
int sum , maxsum;
sum = maxsum = 0;
int i ,j ;
for(i = 0;i<n;i++)
{
sum = 0;
for(j = i;j<n;j++)
{
sum += a[j];
if(sum>maxsum)
maxsum = sum;
}
}
return maxsum;
}
第三種 分而治之 遞迴思想
將陣列一分為二,左邊右邊,整個陣列最大的和可能是左半邊最大和 也可能是右半邊最大和 還有可能是跨越邊界最大和 , 分別求出來 ,在比較大小。時間複雜度O(nlogn)
int max(int a[],int left,int right)
{
count++;
int sum,i, ret,center,leftmax,rightmax,left_max,right_max;
if(right==left)
return a[left]>0?a[left]:0;
center =(left+right)/2;
leftmax = max(a,left,center);
rightmax = max(a,center+1,right);
sum = left_max = 0;
for( i = center;i>=left;i--)
{
sum+=a[i];
if(sum>left_max)
left_max = sum;
}
sum = 0;
right_max = 0;
for(i= center+1;i<=right;i++)
{
sum+=a[i];
if(sum>right_max)
right_max = sum;
}
ret = left_max+right_max;
if(ret <leftmax)
ret = leftmax;
if(ret<rightmax)
ret = rightmax;
return ret;
}
第四種 動態規劃 線上處理 時間複雜度O(n) 最快
int max(int a[],int n)
{
int sum,maxsum;
int i ;
sum = maxsum = 0;
for(i = 0;i<n;i++)
{
sum +=a[i];
if(sum>maxsum)
maxsum = sum;
else if(sum<0)
sum = 0;
}
return maxsum;
}