1. 時間複雜度

     概念：時間複雜度實際上就是一個函式，用來計算一個演算法執行基本操作的次數。基本操作顧名思義，即就是一個演算法的最基本的運算，如：計算1+2+...+100,它的基本操作為’+’。

  時間複雜度的計算：在實際操作中我們通常關注的是一個演算法的最壞執行情況，即對於任意輸入規模N，演算法執行的最長時間。一般情況下使用O漸進法來計算。

    f(N):N為演算法規模，f(N)為演算法時間複雜度表達函式，則該演算法的時間複雜度用O漸進表示法可表示為O(f(N))，此時的f(N)是表達函式中增長最快的一項。常數型增長可表示為O(1)，1並不是表示一次，而是表示常數次，忽略常數及常係數。

    eg:氣泡排序：f(n)=(n-1)+(n-2)+...+1=(n-1)(n-2)/2

   由氣泡排序的時間複雜度表達函式可得用O漸進表示法可表示氣泡排序的時間複雜度為O(n^2)。

2. 空間複雜度

  概念：一個表示演算法開闢空間大小的函式，表示：O(f(N))。f(N)為演算法的空間複雜度表達函式O(1)則表示演算法每執行一次開闢常數個空間。

  遞迴呼叫的空間複雜度 = 遞迴的深度 * 每次遞迴開闢的空間大小

     eg: 斐波那契數列：1，1，2，3，5，8，13，21...

    每次遞迴開闢常數個空間，遞迴N次，其空間複雜度為O(N)。

3. 例項分析

 1.二分查詢（升序陣列中查詢元素x，找到了返回該元素下標，未找到返回-1）

二分查詢的的遞迴及非遞迴實現如下：

#include<stdio.h>
#include<windows.h>
//遞迴演算法
int binarySearch1(int *a,int key,int len)
{
	int end = len-1,start = 0,mid = 0;
	
	while(start <= end)
	{
		mid=(end+start)/2;
		if(key<a[mid])
		{
			end = mid - 1;
		}
		else if(key>a[mid])
		{
			start = mid + 1;
		}
		else
		{
			return mid;
		}
	}
	return -1;
}

//非遞迴演算法
int binarySearch2(int *arr,int key,int a,int b)
{
	int mid = 0;
	if(a>b)
	{
		return -1;
	}
	else
	{
		mid = (a+b)/2;
		if(arr[mid]==key)
		{
			return mid;
		}
		else if(arr[mid]<key)
		{
			search2(arr,key,mid+1,b);
		}
		else
		{
			search2(arr,key,a,mid-1);	
		}
	}
}
int main()
{
	int a[10]={1,2,3,4,5,6,7,8,9};
	int len = sizeof(a)/sizeof(a[0]);
	printf("%d\n",binarySearch1(a,5,len));
	printf("%d\n",binarySearch2(a,2,0,len-1));
	system("pause");
	return 0;
}

在二分查詢演算法中，若用x表示查詢次數，n表示陣列中元素個數，則x和n滿足表示式2^x=n,即二分查詢的時間複雜度函式為x=log2(n);時間複雜度為O(log(n))。其中遞迴演算法的空間複雜度為O(log(n)),非遞迴空間複雜度為O(1)。

（2）斐波那契數列（從第三項開始後一項等於前兩項之和）

  程式碼實現如下：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>
#include<windows.h>

//遞迴
int Fibonaci1(int input)
{
	if((input==1)||(input==2))
	{
		return 1;
	}
	return Fibonaci(input-1)+Fibonaci(input-2);
}
//非遞迴
int Fibonaci(int input)
{
	int input1 = 1;
	int input2 = 1;
	int result = 0;
	if((input == 1)||(input == 2))
	{
		return 1;
	}
	while(input>2)
	{
			result=input1+input2;
			input1=input2;
			input2=result;
			input--;
	}
	
	return result;
		
}
int main()
{
	int input = 0;
	scanf("%d",&input);
	printf("非遞迴輸出第%d個Fibonacci數為：%d\n",input,Fibonaci(input));
	printf("  遞迴輸出第%d個Fibonacci數為：%d\n",input,Fibonaci1(input));
	system("pause");
	return 0;
}

  4.尾遞迴

       概念：函式返回之前的最後一個操作若是遞迴呼叫，則該函式進行了尾遞迴。

  優點：在遞迴呼叫中，系統不斷的進行壓棧、退棧操作，一旦處理的資料過多，很有可能會導致棧溢位，但尾遞迴是在呼叫之前已將所有計算任務完成，無需有其他儲存，只需將得到的結果交給子函式即可，因此子函式可以利用當前棧幀，將原先資料覆蓋即可，運算相對一般遞迴更節省空間，防止了棧溢位，減少了建立棧幀時的開銷。