數字方陣2 題解 回溯算法.md
阿新 • • 發佈：2019-02-14
判斷 所有 部分 不用 als 最優解 idt 去百度 要求
其相鄰數的和為素數的有:1+2,1+4,4+3,2+3。
當N=4時,一種可以填寫的方案如下:
在這裏我們約定:左上角的格子裏必須放數字1。
http://218.5.5.242:9018/JudgeOnline/problem.php?id=1263
題目描述
在N*N的棋盤上（1＜N≤10）填入1,2,...N*N共N*N個數,使得任意兩個相鄰的數之和為素數.例如,當N=2時,有 ：| 1 | 2 |
| 4 | 3 |
| 1 | 2 | 11 | 12 |
| 16 | 15 | 8 | 5 |
| 13 | 4 | 9 | 14 |
| 6 | 7 | 10 | 3 |
輸入
一個正整數N。
輸出
若有多種解,則需輸出第一行之和最小，若第一行和相同，則輸出第一列之和最小的排列方案;若無解,則輸出"No solution"。若有解，第一行為空格分割的兩個正整數，分別是該排列方案的第一行、第一列各數字之和。以下n行輸出該排列方案，每個數字占4個字符，不足4位的在數字前用空格補齊。
樣例輸入
2
樣例輸出
3 5
1 2
4 3
算法分析
這題和洛谷上的不！一！樣！！
P1549 棋盤問題（2）(https://www.luogu.org/problemnew/show/P1549)
輸出格式：
如有多種解，則輸出第一行、第一列之和為最小的排列方案；若無解，則輸出“NO”。
洛谷上這題要求是：“如有多種解，則輸出第一行、第一列之和為最小的排列方案”，只要搜到第一個解直接輸出結束。但是這題不行，這題只能把所有解都搜過去。。。
要是爆搜肯定超時。。但是n小呀，於是開始了瘋狂的預處理+剪枝。。。
因為要求輸出第一行之和最小的排列方案，若第一行和相同，則輸出第一列之和最小的排列方案
初始化：
- 讀入n，篩出2…2*n*n之間的所有素數表prime[i]，用於表示i是否為素數。（線性篩，FindPrime()）
- 對於每一個數i，找出2...2*n*n之內的所有能使i+j為素數的j，並儲存起來。（predeal()）
搜索第1行（workhang(int dx)）：在搜索時可能判斷當前已經搜索過的格子中數字之和hang是否大於先前答案中第一行的和ansh,如果是可不用繼續搜索，這就是搜索剪枝。
搜索第1列（worklie(int dy)），同樣，搜索列也可剪枝。
搜索中間部分（workmid(int dx,int dy)）：只要已經出現過一個解，就不繼續搜索，也可剪枝。而且豎著搜比橫著搜快。（沒有為什麽。。數據就是這樣。。。）
下面貼代碼：
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cmath> 4 #include <cstring> 5 #define reg register 6 using namespace std; 7 int n,N;//N=n*n，即最大的數，方便以後遍歷所有數(也省時間) 8 int map[11][11];//儲存方陣 9 bool prime[20000], v[200];//prime[i]表示i是否為素數，v[i]表示i是否用過(用於搜索) 10 11 int pprime[20000];//用於篩素數 12 inline void FindPrime() { //篩素數，這裏用的是線性篩，不懂可以去百度 13 int k=0, ls=2*N+5; 14 memset(prime, 1, sizeof(prime)); 15 prime[1]=false; 16 for (reg int i=1; i<=ls; ++i) { 17 if (prime[i]) pprime[++k]=i; 18 for (reg int j=1; j<=k; ++j) { 19 prime[i*pprime[j]]=false; 20 if (i%pprime[j]==0) break; 21 } 22 } 23 } 24 int pre[101][101];//存放預處理結果 25 inline void predeal(){//預處理 26 int k=2; //k:儲存方案數 27 for(reg int i=1;i<=N;++i){ 28 k=2; 29 for(reg int j=((i&1)?2:3);j<=N;j+=2){ 30 if(prime[j+i]) 31 pre[i][k++]=j;//將使i+j為素數的所有可能的j存入pre[i][2...k]; 32 } 33 pre[i][1]=k-2;//pre[i][1]存放方案數(j有幾種可能)，用於之後的遍歷 34 } 35 } 36 int hang=1,lie=1;//hang:當前第一行所有數之和 lie:當前第一列所有數之和 37 int ansh = 1000, ansl = 1000,count=0; 38 //ansh ansl:儲存最優解(最小的hang lie)；count:方案數(判斷是否No solution) 39 int ansmap[11][11];//儲存答案方陣 40 inline void print() {//簡單的輸出結果的函數 41 printf("%d %d\n", ansh, ansl); 42 for (reg int i=1; i<=n; i++) { 43 for (reg int j=1; j<=n; j++) 44 printf("%4d", ansmap[i][j]); 45 printf("\n"); 46 } 47 } 48 inline void update() {//更新結果(判斷當前結果是否比上一個結果更優) 49 ansh = hang; ansl = lie; 50 memcpy(ansmap, map, sizeof(map)); 51 count++; 52 } 53 bool found;//因為當第一行與第一列已經確定了時，中間這塊對答案無影響，只要搜索出一個結果即可，用於剪枝 54 inline void workmid(int dx, int dy) { 55 if(found)return;//只要中間這塊已經被搜索出來了，即可停止 56 if((map[dx-1][dy]&1)^(map[dx][dy-1]&1)) 57 //若上面的數與左邊的數一奇一偶，肯定不符合(i+left和i+up中必定有一個為偶數，非素數) 58 return; 59 int left=map[dx-1][dy];//儲存上面一格的數 60 for (reg int k = 2; k <= pre[left][1]+1; ++k) { 61 int i=pre[left][k];//遍歷使left+i為素數的所有i，後面寫法與此相同 62 if (prime[i+map[dx][dy-1]] && !v[i]) { 63 map[dx][dy]=i, v[i]=1; 64 if (dx<n && dy<=n)workmid(dx+1, dy), v[i]=0;//往下搜一個 65 else if (dx==n && dy<n) workmid(2, dy+1), v[i]=0;//這一列搜完了，跳到下一列 66 else if (dx==n && dy==n) update(), v[i]=0, found=1;//中間都搜完了，更新結果，標記found 67 } 68 } 69 } 70 inline void worklie(int dy) {//搜索列 71 int up=map[dy-1][1]; 72 for (reg int k=2; k<=pre[up][1]+1; ++k) { 73 int i=pre[up][k]; 74 if (!v[i] && (hang<ansh||(hang==ansh&&(lie+i)<ansl))){ 75 map[dy][1]=i, v[i]=1, lie+=i; 76 if (dy==n)workmid(2, 2), v[i]=0, lie-=i, found=0; 77 else worklie(dy+1), v[i]=0, lie-=i; 78 } 79 } 80 } 81 inline void workhang(int dx) {//搜索行 82 int left=map[1][dx-1]; 83 for (reg int k=2; k<=pre[left][1]+1; ++k) { 84 int i=pre[left][k]; 85 if (!v[i] && (hang+i)<=ansh){ 86 map[1][dx]=i, v[i]=1, hang+=i; 87 if (dx==n) worklie(2), v[i]=0, hang-=i; 88 else workhang(dx+1), v[i]=0, hang-=i; 89 } 90 } 91 } 92 int main() { 93 cin>>n; N=n*n; 94 FindPrime(); 95 predeal(); 96 map[1][1] = 1; 97 workhang(2); 98 if(count>0)print(); else printf("No solution"); 99 return 0; 100 }
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