nat con style mes 包括 問題： exist 結點 深度優先

1.定義： 回溯算法是一種在窮舉查找基礎上的增強變形。主要是在嘗試搜索的過程中，每次只構造解的一個分量，當發現部分構造解滿足求解條件時，就接受下一個分量所做的第一個合法選擇；當發現部分構造解不滿足求解條件時，就回溯返回，嘗試另外的路徑。這種走不通就回頭的算法稱為回溯算法。 主要思想：通過對所做的選擇構造一顆狀態空間樹，按照深度優先的策略，從根開始深度搜索狀態空間樹。當搜索到某一結點，先判斷該節點是否可以構成完整解，如果可以就繼續向下搜索；否則就逐層返回回溯，嘗試其他路徑。（隱式圖的深度優先搜索） 核心思想：個人以為，回溯法的核心是狀態空間樹的構造（可能是隱式構造的），一旦確立了狀態空間樹，就可以直接得出問題的解。狀態空間樹的構造思想是：按照深度優先的方式，如果當前節點的下一個分量所構造的部分解可以導致完整解，就生成節點的子女，並添加下一個分量的第一個合法選擇；否則就回溯到該節點的父母，考慮部分解的下一個分量選擇。 2.回溯算法的一般步驟（解決某些約束下的最優解）：

（1）確定問題的解空間（包含所有解的一顆狀態空間樹），確定完全解的形式，以及部分構造解無法構成完全解的剪枝規則。（ ps：問題的解空間（狀態空間樹）是在DFS的過程中動態生成的） （2）確定節點（分量）的擴展規則，即下一個節點的選擇規則。 （ps：如曼哈頓問題中，按照字母順序選擇下一個分量） （3）以深度優先的方式搜索解空間，並在搜索的過程中用剪枝函數判斷該節點是否可以生成完全解。如果可以，則進入該節點的子樹下一步搜索（構造下一個分量）；如果不能，則跳過該節點的子樹（不再生成下一個分量），逐層回溯。（ps：剪枝函數包括約束函數和界限函數，分別剪去不滿足約束的節點和不能得到最優解的函數） 3.回溯的算法框架： （1）遞歸的方式：

int x[n];
void backtrack(int t)
{
    if(t>n)              //到達葉子節點，輸出結果，x是可行解
        output(x);
    else
    {
        for i = 1 to k   //該節點的子節點（分量的所有下一個分量）
        {
            x[t] = value(i);    //取出子節點的值
            if(constraint(t) && bount(t) )    //
 
剪枝函數：判斷約束和界限
                backtrack(t+1);    //可以生成完全解，繼續遞歸下去
        }
    }
}

特點：思路簡單，設計簡單，但算法時間效率很差。 （2）遞推的方式：

void backtrack()
{
    int t=1;
    while(t>0)
    {
        if(existSubNode(t))    //存在子節點：該結點還有可以構造的節點（下一個分量）
        {
            for i = 1 to k
            {
                x[t] = value(i);    //相當於在此處建立一個結點
                if(constraint(t) && bount(t) )    //剪枝函數判斷約束和界限
                {
                    if(isResult(t) )    //得到了一個結果，輸出
                        output(x);
                    else                //還沒有得到結果，繼續向下搜索
                        t++;
                }
                else
                {
                    eraseSubNode(t)    //該結點無法構成完全解，故刪去該結點,並設該結點不可再作為子節點。
                }
            }
        }
        else
        {
            eraseSubNode(t);    //該結點沒有子結點，也不能完全解，所以刪去該結點。
            t--;                //進行回溯
        }    
    }
}

特點：設計復雜，但算法時間效率很高。 4.用回溯的思想實現背包問題： 用回溯算法解決01背包問題，步驟： （1）問題的解空間是子集樹，節點表示前 t 個物品的存放狀態，樹枝的值表示第 t 個物品有沒有放入背包。完全解的形式是01組成的N個數，避免無法構造完全解的約束剪枝規則是：當前背包的物品重量CurWeight加新增的物品重量不能超過背包的承重C（CurWeight+w[t]<C）。 當物品數為3時，解空間（狀態空間樹）如下： 　　　　　　　　 （2）節點擴展規則：數字遞增順序，也就是說第t個物品放入背包和沒有放入背包的狀態，即 0 和 1. （3）回溯搜索：如果搜索到葉子節點，表示一條路徑搜索結束，如果存在更優解則記錄。 如果沒有搜索到葉子節點，則遍歷其子節點，滿足剪枝條件時繼續向下搜索，不滿足時回溯。

#include <iostream>
using namespace std;
#define N  4                     //物品總數
#define C  5                     //背包的承重
int w[N] = {2,1,3,2};           //物品重量
int v[N] = {12,10,20,15};     //物品價值
int CurWeight = 0;            //當前總重量
int CurValue = 0;               //當前總價值
int x[N] ={0,0,0};                 //當前的背包選取情況（1表示選取，0表示不選取）
int MaxValue = 0;              //最大價值
int MaxPack[N] = {0,0,0};     //最大價值下的背包選取情況（1表示選取，0表示不選取）
void backtrack(int t)
{
    if(t >= N)    //到達葉子處，說明已經求得一個滿足約束的完全解，接下來判斷是否最優
    {
        if(CurValue > MaxValue)
        {
            MaxValue = CurValue;
            for(int i=0;i<N;i++)
                MaxPack[i] = x[i];
        }
    }
    else    //沒到葉子處，還要繼續向下搜索下去
    {
        for(int i=0;i<=1;i++)
        {
            x[t] = i;            //01背包問題中，每個物品的存放狀態是 0 或 1。此處表示第 t 個物品在背包中的狀態為 0 或 1。
            if(x[t] == 0)     //第 t 個物品沒有放入背包，不進行剪枝判斷
            {
                backtrack(t+1);     
            }
            else            //第 t 個物品放入背包，要進行剪枝判斷
            {
                if(CurWeight + w[t] <= C)    //剪枝判斷為滿足約束條件
                {
                    CurWeight += w[t];   //當前結點滿足約束，則增加結點的值到當前值中
                    CurValue += v[t];
                    backtrack(t+1);          //繼續向下搜索
                    CurWeight -= w[t];    //為了回溯到父節點的狀態，要將子節點新增的內容刪掉
                    CurValue -= v[t];
                }    
            }
        }
    }
}

int main()
{
    backtrack(0);
    cout<<"the max value pack combination: ";
    for(int i=0; i<N; i++)
        cout<<MaxPack[i]<<" ";
    cout<<"\nthe max value: "<<MaxValue<<endl;
}

淺談回溯算法