回溯算法
阿新 • • 發佈：2018-03-04
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來源： https://baike.baidu.com/item/%E5%9B%9E%E6%BA%AF%E6%B3%95/86074?fr=aladdin
回溯法解題的關鍵要素
確定了問題的解空間結構後，回溯法將從開始結點(根結點)出發，以深度優先的方式搜索整個解空間。開始結點成為活結點，同時也成為擴展結點。在當前的擴展結點處，向縱深方向搜索並移至一個新結點，這個新結點就成為一個新的活結點，並成為當前的擴展結點。如果在當前的擴展結點處不能再向縱深方向移動，則當前的擴展結點就成為死結點。此時應往回移動(回溯)至最近的一個活結點處，並使其成為當前的擴展結點。回溯法以上述工作方式遞歸地在解空間中搜索，直至找到所要求的解或解空間中已無活結點時為止。 運用回溯法解題的關鍵要素有以下三點： (1) 針對給定的問題，定義問題的解空間； (2) 確定易於搜索的解空間結構；遞歸和叠代回溯
一般情況下可以用遞歸函數實現回溯法，遞歸函數模板如下： void BackTrace(int t) { if(t>n) Output(x); else for(int i = f (n, t); i <= g (n, t); i++ ) { x[t] = h(i); if(Constraint(t) && Bound (t)) BackTrace(t+1); } } 其中，t 表示遞歸深度，即當前擴展結點在解空間樹中的深度；n 用來控制遞歸深度，即解空間樹的高度。當 t>n時，算法已搜索到一個葉子結點，此時由函數Output(x)對得到的可行解x進行記錄或輸出處理。用 f(n, t)和 g(n, t)分別表示在當前擴展結點處未搜索過的子樹的起始編號和終止編號；h(i)表示在當前擴展結點處x[t] 的第i個可選值；函數 Constraint(t)和 Bound(t)分別表示當前擴展結點處的約束函數和限界函數。若函數 Constraint(t)的返回值為真，則表示當前擴展結點處x[1:t] 的取值滿足問題的約束條件；否則不滿足問題的約束條件。若函數Bound(t)的返回值為真，則表示在當前擴展結點處x[1:t] 的取值尚未使目標函數越界，還需由BackTrace(t+1)對其相應的子樹做進一步地搜索；否則，在當前擴展結點處x[1:t]的取值已使目標函數越界，可剪去相應的子樹。來源： https://baike.baidu.com/item/%E5%9B%9E%E6%BA%AF%E6%B3%95/86074?fr=aladdin
子集樹與排列樹
當給定的問題是從n個元素的集合S中找出滿足某種性質的子集時，相應的解空間樹稱為子集樹。例如，n個物品的0-1 背包問題所對應的解空間樹是一棵子集樹，該類樹通常有2n個葉子結點，總結點數為2n+1- 1，遍歷子集樹的任何算法需要的計算時間復雜度均為O(2n)。 回溯法搜索子集樹的一般算法描述如下： void BackTrace(int t) { if(t>n) Output(x); else for(int i = 0; i <= n; i++) { x[t] = i; if(Contraint(t) && Bound(t)) BackTrace (t + 1); } } 當給定的問題是確定 n 個元素滿足某種性質的排列時，對應的解空間樹稱為排列樹。排列樹通常有n! 個葉子結點，遍歷排列樹需要的計算時間復雜度為O(n!)。 回溯法搜索排列樹的算法模板如下： void BackTrace(int t) { if(t>n) Output(x); else for(int i = 0; i <= n; i++) { Swap(x[t], x[i]); if(Contraint (t) && Bound (t)) BackTrace(t + 1); Swap(x[t], x[i]); } }回溯算法