逆元：
若，b*b1 % c == 1
則，b1稱為b模c的乘法逆元。

在ACM中，許多除法取模都要用到求逆元。
但是，逆元，為什麼能給我們帶來 ( a/b ) % c == ( a*b1 ) % c ？？？

（當然a/b要整除）

要知道，取模等式等價變形中，是沒有除法的！！！

而推導式，還是沒有用除法的地方！！！

我們用反證法證明：

若b*b1 % c == 1，則( a/b ) % c ！= ( a*b1 ) % c
若我們證明這一命題是錯誤的，我們目的就達到了。

令，a/b   == k1*c+y1
       a*b1 == k2*c+y2
原來的證明則變成了：若b*b1 % c == 1，則 y1!=y2


兩式相減，有 a/b-a*b1 == (k1-k2)*c + (y1-y2)
設 k == k1-k2
     y == y1-y2
有，a/b-a*b1 == k*c + y
左右乘以b，有 a*(1-b*b1) == k*b*c + b*y
左右模上c，
左邊 == a*(1-b*b1)%c
        == ( a*( 1%c - b*b1%c ) )%c
        == 0
右邊 == (k*b*c + b*y)%c
        == b*y%c
因為a/b為整除，b顯然不會是0，那麼y必須是0，這與命題矛盾，證畢

p.s. 因為是自己證的，萬一有錯誤，還望大牛指出。


為什麼求逆元會用擴充套件歐幾里得？

程式碼：

一、歐幾里得演算法（輾轉相除法）

1、用途：快速計算兩個數的最大公約數。

2、精髓：gcd（a，b）=gcd（b，a%b）

3、證明：設r=a mod b,則我們要證明的是gcd(a,b)=gcd(b,r)

             設gcd(a,b)=c，則a=mc，b=nc,且m，n互質。那麼r=a-kb=(m-kn)c,所以c也是r的因數。

             若gcd(b,r)>c,則設為d，則有b=m1*d,r=n1*d,所以a=(m1+n1)*d,則d為a的因數，所以gcd(a,b)=d,與題設不符。

             所以gcd(a,b)=gcd(b,r)

4、時間複雜度：顯然經過兩次遞迴後第一個引數至少減小一半

                      所以時間複雜度粗略為O(log max(a,b))

二、擴充套件歐幾里得演算法：

1、用途：快速求整數x，y使得ax+by=gcd（a，b）

2、精髓程式碼：

void extgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    
 
if(!b)
    {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    else
    {
        extgcd(b,a%b,y,x);
        y-=(a/b)*x; 
    }
}

     3、證明：由於gcd（a，b）=gcd（b，a%b）

                  所以b*x1 + (a%b)*y1 = gcd(a,b)

                  a%b = a - (a/b)*b

                  所以gcd(a,b) = b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1

                                    = b*x1 + a*y1 – (a/b)*b*y1

                                    = a*y1 + b*(x1 – a/b*y1)

                  對於我們所求的x，y使得ax+by=gcd(a,b)

                  則有  x = y1

                  y = x1 – a/b*y1

                  證畢

                  至於終止條件，因為當歐幾里得演算法終止時a=gcd，b=0，則當x=1，y=0時，必使目標公式成立。

                  另外關於ax+by=c的充要條件為什麼是c=gcd(a,b),可以自行百度一下裴蜀定理。

     4、時間複雜度：與歐幾里得演算法一致

     5、經典例題：雙六