好像是一種比較新的篩法，網上資料都是18年的
~~趕上時代潮流了？？~~
據說踩爆了一種叫洲閣篩的篩法？

用途

篩一些比較神奇的函式F字首和。（或者詢問區間內什麼的）
要能構造一個 $G$ ，使得 $G (p) = F (p), p \in P r i m e$ ，並且G要是“完全積性”的。

複雜度

~~空間n^0.5，時間據說為 $n^{0.75} / l o g n$~~ （被集訓隊大佬fake掉了我也不知道）
2s大概可以做兩次1e10吧。

Part1(篩法遞推)

下文中，記 $R (a)$ 表示a的最小質因子。
一個數x要麼是質數，要麼 $R (x) <= \sqrt{x}$ 。

首先，我們來求出所有質數的F和。

設

g (i, j)

表示

\sum F (x), 满 足 x \in [2, i] ， 且 x \in P r i m e 或 R (x) > P_{j}

Pj表示第j個質數。（即篩法進行到Pj時的狀態）

其中j的取值只有 $\sqrt{n}$ 個，按j分層，我們要求的是篩法進行完畢的狀態 $g (i, M A X)$
初始狀態 $g [i, 0]$ 我們將所有數都視作質數來預處理，然後一個個質數去篩，將合數篩去，這樣剩下的就是質數的F和。

容易推出g的遞推式，用 $g (i, j - 1)$ 來推 $g (i, j)$ ，即減去所有最小質因子為 $P j$ 的數的F和。

g (i, j) = g (i, j - 1) - F (P j) \cdot (g (i / P j, j - 1) - s u m f (j - 1))

後面括號內sumf(j)是指

\sum F (P i), i \in [1, j]

晒微解釋一下式子的含義：
考慮任意一個需要被篩出的數 $P_{j} \cdot A <= i$ ，即 $A <= i / P_{j}$ 。
注意需要同時滿足 $R (A) >= P_{j}$
這樣的數的F和其實可以用g表示出來。但同時注意到g內有一段小於 $P j$ 的質數，需要減去。
*注意此處 $i / P j$ 可能小於Pj，此時式子不正確。但當 $P j^{2} > i$

P j^{2} > i

時顯然

g (i, j) = g (i, j - 1)

，實現上由於省略了第二維，因此直接不更新即可。

根據常識，第一維大小隻有 $2 \sqrt{n}$ ，離散下來存好。具體可能需要看標。
下面在篩質數和。

int getid(ll x) {
    if (x <= P) return id[x]; else return id2[n/x];
}
    //p是質數陣列，pre[x]表示p[2]+p[3]...+p[x]
    P = sqrt(n);
    for (ll l = 1; l <= n;) {
        ll v = n / l, r = n / v;
        if (v <= P) id[v] = ++m; else id2[n/v] = ++m;
        w[m] = v;
        g[m] = (2+v)*(v-1)/2;
        l = r + 1;
    }
    //注意w是遞減的。
    for (int j = 1; p[j] <= P; j++) {
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            if (p[j] * p[j] > w[i]) break; 
            g[i] -= p[j] * (g[getid(w[i] / p[j])] - pre[j-1]);
        }
    }

Part2(答案統計)

求好了所有質數的和，就可以考慮如何求真·字首和了。
有直接計算 / 遞推兩個方法。優缺點在最後。

直接計算版

類似g的定義，
設 $f (i, j)$ 表示

\sum F (x), 满 足 x \in [2, i] ， 且 R (x) >= P_{j}

（注意是R(x)大於等於Pj而不是大於Pj）
分兩個部分來計算：
1.質數
2.合數，通過列舉其最小質因子與次冪來統計。

對於f(i,j)，顯然質數部分就是

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用途

複雜度

Part1(篩法遞推)

Part2(答案統計)

直接計算版

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