洲閣篩

阿新 • • 發佈：2019-02-20

定義非完全積性函式F(x)
我們現在要做的事情是求：

∑x=1nF(x)
還要滿足的是：F(pc)是與p相關的低階多項式
考慮將每個x的質因數分成小於等於n√和大於n√兩部分：
∑x=1nF(x)=∑1≤i≤ni沒有大於n√的質因數F(i)⎛⎝⎜⎜⎜1+∑n√<j≤⌊ni⌋j是質數F(j)⎞⎠⎟⎟⎟
注意到當i>n√時後面部分的貢獻是1，所以要處理的東西有兩部分：
∑1≤i≤n√∑n√<j≤⌊ni⌋j是質數F(j)
和
∑n√<i≤ni沒有大於n√的質因數F(i)
先解決前面的部分：
設gk(i,j)表示[1,j]內與前i個質數互質的數的k次方和：
那麼有轉移：
g

k(i,j)=gk(i−1,j)−pik×gk(i−1,⌊jpi⌋)
考慮gk(i,j)，當pi+1>j時gk(i,j)的值為1，即當pi>⌊jpi⌋時，後面的貢獻為pik
就是說，每次處理gk(i,j)的時候，從小到大列舉i，如果當前的pi2>j，就直接跳出，而呼叫這個位置之後的g時就直接預處理一下質數的k次方字首和
由於n以內的質數密度是O(1logn)的，j的取值只有n√種
所以複雜度是這樣分析的：
∑n√i=1(ni−−√+i√)logn
分子的部分為：
∫

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