bzoj 3944: Sum （杜教篩）

題目描述

傳送門

題目大意：
ans1=∑ni=1φ(i), ans2=∑ni=1μ(i)
n<=231−1

題解

對於ans1=∑ni=1φ(i)
我們利用n=∑d|nφ(d)來進行化簡,φ(i)=n−∑d|i,d<iφ(d)。設ϕ(n)=∑ni=1φ(i)
ϕ(n)=∑ni=1φ(i)=∑ni=1i−∑d|i,d<iφ(d)
=n∗(n+1)2−∑ni=2∑d|i,d<iφ(d)=n∗(n+1)2−∑ni=2∑⌊ni⌋d=1φ(d)
=n∗(n+1)2−∑ni=2ϕ(⌊ni⌋)

對於上面的式子我們只需要就算n√ 個ϕ(⌊ni⌋)就可以了。
至於時間複雜度我並不會算，不過網上有不少證明。
如果預處理n

23的字首和的話，時間複雜度可以達到O(n23)

然後再看 ans2=∑ni=1μ(i)
利用[n=1]=∑d|nμ(d)進行化簡，設M(n)=∑ni=1μ(i)

1=∑ni=1[i=1]=∑ni=1∑d|iμ(d)
=∑ni=1∑⌊ni⌋d=1μ(d)
=∑ni=1M(⌊ni⌋)

所以M(n)=1−∑n

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