在hihocoder上面的題目中看到的這個問題，總結一下。先看01揹包問題。

01揹包問題：一個揹包總容量為V，現在有N個物品，第i個 物品體積為weight[i]，價值為value[i]，現在往揹包裡面裝東西，怎麼裝能使揹包的內物品價值最大？

看到這個問題，可能會想到貪心演算法，但是貪心其實是不對的。例如最少硬幣找零問題，要用動態規劃。動態規劃思想就是解決子問題並記錄子問題的解，這樣就不用重複解決子問題了。

動態規劃先找出子問題，我們可以這樣考慮：在物品比較少，揹包容量比較小時怎麼解決？用一個數組f[i][j]表示，在只有i個物品，容量為j的情況下揹包問題的最優解，那麼當物品種類變大為i+1時，最優解是什麼？第i+1個物品可以選擇放進揹包或者不放進揹包（這也就是0和1），假設放進揹包（前提是放得下），那麼f[i+1][j]=f[i][j-weight[i+1]+value[i+1]；如果不放進揹包，那麼f[i+1][j]=f[i][j]。

這就得出了狀態轉移方程：

f[i+1][j]=max(f[i][j],f[i][j-weight[i+1]+value[i+1])。

可以寫出程式碼測試：

#include<iostream>
using namespace std;
#define  V 1500
unsigned int f[10][V];//全域性變數，自動初始化為0
unsigned int weight[10];
unsigned int value[10];
#define  max(x,y)	(x)>(y)?(x):(y)
int main()
{
	
	int N,M;
	cin>>N;//物品個數
	cin>>M;//揹包容量
	for (int i=1;i<=N; i++)
	{
		cin>>weight[i]>>value[i];
	}
	for (int i=1; i<=N; i++)
		for (int j=1; j<=M; j++)
		{
			if (weight[i]<=j)
			{
				f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-weight[i]]+value[i]);
			}
			else
				f[i][j]=f[i-1][j];
		}
	
	cout<<f[N][M]<<endl;//輸出最優解

}
 

在hihocoder上面還講到可以進一步優化記憶體使用。上面計算f[i][j]可以看出，在計算f[i][j]時只使用了f[i-1][0……j]，沒有使用其他子問題，因此在儲存子問題的解時，只儲存f[i-1]子問題的解即可。這樣可以用兩個一維陣列解決，一個儲存子問題，一個儲存正在解決的子問題。

再進一步思考，計算f[i][j]時只使用了f[i-1][0……j]，沒有使用f[i-1][j+1]這樣的話，我們先計算j的迴圈時，讓j=M……1，只使用一個一維陣列即可。

for i=1……N

for j=M……1

f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]+value[i])

#include<iostream>
using namespace std;
#define  V 1500
unsigned int f[V];//全域性變數，自動初始化為0
unsigned int weight[10];
unsigned int value[10];
#define  max(x,y)	(x)>(y)?(x):(y)
int main()
{
	
	int N,M;
	cin>>N;//物品個數
	cin>>M;//揹包容量
	for (int i=1;i<=N; i++)
	{
		cin>>weight[i]>>value[i];
	}
	for (int i=1; i<=N; i++)
		for (int j=M; j>=1; j--)
		{
			if (weight[i]<=j)
			{
				f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]]+value[i]);
			}			
		}
	
	cout<<f[M]<<endl;//輸出最優解

}
 

在看完01揹包問題，再來看完全揹包問題：一個揹包總容量為V，現在有N個物品，第i個 物品體積為weight[i]，價值為value[i]，每個物品都有無限多件，現在往揹包裡面裝東西，怎麼裝能使揹包的內物品價值最大？

對比一下，看到的區別是，完全揹包問題中，物品有無限多件。往揹包裡面新增物品時，只要當前揹包沒裝滿，可以一直新增。那麼狀態轉移方程為：

f[i+1][j]=max(f[i][j-k*weight[i+1]]+k*value[i+1])，其中0<=k<=V/weight[i+1]

使用記憶體為一維陣列，虛擬碼

for i=1……N

for j=1……M

f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]+value[i])

和01揹包問題唯一不同的是j是從1到M。01揹包問題是在前一個子問題（i-1種物品）的基礎上來解決當前問題（i種物品），向i-1種物品時的揹包新增第i種物品；而完全揹包問題是在解決當前問題（i種物品），向i種物品時的揹包新增第i種物品。

程式碼如下：

#include<iostream>
using namespace std;
#define  V 1500
unsigned int f[V];//全域性變數，自動初始化為0
unsigned int weight[10];
unsigned int value[10];
#define  max(x,y)	(x)>(y)?(x):(y)
int main()
{
	
	int N,M;
	cin>>N;//物品個數
	cin>>M;//揹包容量
	for (int i=1;i<=N; i++)
	{
		cin>>weight[i]>>value[i];
	}
	for (int i=1; i<=N; i++)
		for (int j=1; j<=M; j++)
		{
			if (weight[i]<=j)
			{
				f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]]+value[i]);
			}			
		}
	
	cout<<f[M]<<endl;//輸出最優解

}