對於任一給定的矩陣A（m * n），都存在這樣的分解：

    其中， U是一個m * m的酉矩陣，S是一個m * n的矩陣，除了主對角線上的元素以外全為0，主對角線上的每個元素都稱為奇異值， V是一個n * n的酉矩陣。

求解解線性方程組

    Ax=b

    svd(A) = USV'，令X=V'x，B=U'b，則有SX=B,由於S是對角陣，可輕易求出X，又由於V是正交陣，則x=VX，故而方程組得以解出。

    Ax= b

    [U,S,V]=svd(A)

     B = U'b

    此時令SX=B，X易求出為X[i]=B[i]/S[i,i]

    則x=VX

    最終可以驗證，x是Ax=b的解

SVD的一些性質

    對於奇異值,它跟我們特徵分解中的特徵值類似，在奇異值矩陣中也是按照從大到小排列，而且奇異值的減少特別的快，在很多情況下，前10%甚至1%的奇異值的和就佔了全部的奇異值之和的99%以上的比例。也就是說，我們也可以用最大的k個的奇異值和對應的左右奇異向量來近似描述矩陣。也就是說：

    其中k要比n小很多，V是n*k維，其轉置為k*n維。

    還以上例為例，上例中S以是按大到小排列，故此處直接取U的前兩列，即U1(4,2)，S取左上角，即S1(2,2)，取V的前兩列，即V1(3,2)，否則要按對應關係取

    B1 = U1' * b

     此時令S1*X1=B1，由於S1是對角陣，故而X1易求出為X1[i]=B1[i]/S1[i,i]

     則x = V1 * X1

    最終可以驗證，x是Ax=b的近似解