《孫子算經》裡有這樣一個問題，“今有物不知其數，三三數之剩二（除以3餘2），五五數之剩三（除以5餘3），七七數之剩二（除以7餘2），問物幾何？”，解決這個問題的方法稱為中國剩餘定理，也叫孫子定理。中國古代還有一個叫做“韓信點兵”的問題，和這個問題本質是一樣的。

很明顯這個物應該有無陣列解，我們先寫幾個數找一下規律。

（1）模3餘2：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29........

（2）模5餘3：3，8，13，18，23，28.......

（3）模7餘2：2，9，16，23，30，37.......

很明顯找到一個23滿足題意，怎麼把解的一般表示式寫出來呢？我們設（23+n）也滿足題意，這個n必須要同時是3，5，7的倍數才行。這是因為如果a%b=c,那麼（a+k*b）%b=c。我們讓n=lcm(3,5,7)=105，所以解的形式應該是（23+105*k)。

但是孫子算經卻不是這麼解決的，有一個口訣叫做“三人同行七十稀，五樹梅花二十一，七子團圓正半月，減百零五便得知”。把這四句話翻譯成數學語言，最後的答案就是（70*a+21*b+15*c-105*k),這裡的a,b,c是帶餘除法中的餘數，也就是2，3，2。這裡的70，21，15是什麼意思，我先簡單解釋一下，下面再給出詳細的論證。70就是5，7的倍數，且模3等於1，因為最後要求餘2，所以我們乘了2。21，15的意義同理。

下面論證一下以上問題的數學解釋：

我們把上述問題分解成三個問題。假設整數p只滿足“三三數之剩二”，q只滿足“五五數之剩三”，r只滿足“七七數之剩二”，則可令

p=3*k1+2,q=5*k2+3,r=7*k3+2,假設整數（p+q+r）同時滿足上述3個條件，那我們可以推出

（1）（p+q+r）%3=2

（2）（p+q+r）%5=3

（3）（p+q+r）%7=2

根據a%b=c   =>  (a+k*b)%b=c,再結合以上三個等式就可以得出p,q,r滿足的條件是

p%3=2且p是5和7的倍數；q%5=3且q是3和7的倍數;r%7=2且r是3和5的倍數。

再談談怎麼具體找這個p,q,r，比如p,本來的想法是在5和7的公倍數裡找一個模3等於2的數，但是調整一下策略，在5和7的公倍數裡找一個模3等於1的數，然後乘以2，也就是乘餘數。我們把5和7的公倍數設為(35*k)。

35*k%3=1  => (mod3),前面這個東西它的含義就是35*k和1這倆數，模3的餘數相同，它的充要條件是（35*k-1）是3的倍數。列舉一下k即可。如果再嚴謹一些，我們可以設35*k-1=3*t,移項以後變形為35*k-3*t=1,問題變成不定方程組求解了。根據擴充套件歐幾里得演算法，方程有解，必須滿足gcd(k,t)=1；所以k和t必須互素，在這種條件下，k的取值是唯一的。