分享一篇經典的myerson 的拍賣設計機制論文。

1, Introduction 

針對seller 給眾多競價者拍賣物品，如何獲得最大的收益的問題，本文提出一種較普遍的優化方法(construct such optimal auctions for a wide class of sellers' auction design problems). 

2, Basic Definitions and Assumptions

（本節宣告一些基本的概念）

約定一個seller 準備出售某個商品(object)，有n個bidders。每個bidder i 對該object有一個估計的價值ti (i's value estimate)，也即其最大可承擔的競價。

名詞約定：

• 假設ti 對上下限為 ai, bi, 競價者bider i 的value estimate distribute 即出價分佈函式為fi，fi(ti) > 0，而且fi 為一個在區間[ai, bi]上連續的函式。
• 對應的累計密度函式Fi 即：  Fi(ti) = ∫ _ai ^ti fi(si) ds_i;   Fi(ti) 也是seller 對競拍者bidder i 的競價<= ti 的估計概率。
• T 表示bidders 對估計價值ti 的所有可能組合： [a1, b1] *  [a2, b2] * .. *  [an, bn] 
• T_-i 表示除去bidder i 之外對所有bidders 的估計價值的組合之和 
• 假設所有n個競價者是相互獨立對隨機變數，即其聯合概率分佈為所有fi(*) 的乘積。

各個競拍者出價獨立的兩個主要因素：1，偏好不確定，此時競拍者i 瞭解到對競拍者j 的出價資訊不影響i 去修改自己的出價，2，對商品的質量（價值）的估計不確定 (quality uncertainly)，此時競拍者i 瞭解到對競拍者j 的出價資訊後會修改自身的出價。

假設存在n個出價調整函式 ej: [ai, bi]，表示另一個競拍者i 獲知到tj 是競拍者j 對商品的價值估計後修改自身出價的方式，ej(tj)=0即對自身出價的瞭解不影響其原始出價。如果i 獲知了全部 t=(t1, .., tn) 的出價資訊後，i將修改其對商品的估計價值為（公式 2.7）： 

相應的，seller 獲得N個競價者對出價後重新調整其對自身的估價為（公式 2.8）：

小結：

• f(ti) 即競拍者i 對商品的價值估計為ti 的概率分佈函式。
• vi(t) 即競拍者i 考慮其他競拍者對商品的價值估計後，修正的價格估計。

3, Feasible Auction Mechanisms 

（本節闡述可行性拍賣機制的基本條件）

以直接報價機制(direct revelation mechanisms) 為例展開。

給定估計報價t=(t1, .. tn), 直接報價機制的支出函式outcome functions (p, x) ，其中pi(t) 即競拍者i 商品競拍成功的概率，xi(t) 即此時i 給seller 的期望付費金額。

約定seller 和所有競拍者都是中性風險傾向的，對商品有各自的獨立的收益函式(utility function)，競拍者i 的期望效用函式是 （公式 3.1）：

其中，f_-i 即競拍者i 和平臺方 seller 估計除去i 之外的各競拍者的出價的聯合概率分佈（獨立，獨立分佈的乘積），之所以不包含自身的出價概率分佈函式，是因為假定競拍者已經按給定的出價ti以給定的概率pi 獲得商品為一確定性事件。

解釋： 即競拍者對商品本身估計的價值收益v*p - 競拍者為這個商品付出的成本 的累計積分。

與之相對應，seller 對這次競拍的期望收益為 （公式 3.2）：

解釋：即莊家不出售商品時自身對其的價值估計 v₀(1-sum(p)) + 出售商品時從競拍者處獲得的支付收益 的累計。

對(p, x) 的一些約束條件：

• 公式3.3：（概率約束 probability constraints） 由於每次只有一個商品拍賣，所以有 ：

• 公式3.4：（個體理性約束 individual-rationality constraints）由於seller不能強制競拍者參加，所以需要保證每個競拍者參與進來的收益非負才有動力參加，即 ：

假設競拍者有隱瞞自己的估計從而期望獲得額外收益，這時候應該保證誠實報價的狀態是一種納什均衡狀態。假設競拍者i 聲稱si 是他的聲稱估計而ti是他的真實估價，那麼他的期望效益函式為：

說明：競拍者i 獲得物品的收益變成受兩個因素的影響 pi(t _-i, si)， 為拍得商品支付的成本xi 也是。

• 公式3.5： （激勵相容約束 incentive-compatibility constraints）從而，為保證每個競拍者都沒有動力隱瞞報價，需要滿足如下的激勵相容的條件（隱瞞後的期望收益更小）：

本文稱滿足以上3個條件的拍賣機制是可行的feasible。that is, if the seller plans to allocate the object according to p and to demand monetary payments from bidders according to x, then the scheme can be implemented, with all bidders willing to participate honesty. 

在一個一般性的拍賣中，每個bidder有一些候選策略 Theta_i, 以及其對應的收益函式：

一個拍賣機制auction mechanism 涉及到各個競拍者使用的一系列strategic plans 參與遊戲中。a strategic plan即一個[ai, bi] → Thetai 的規則函式，Thetai即當競拍者對商品的估價是ti 時採取的競拍策略。Direct revelation mechanisms直接報價機制即 Thetai(ti) = ti 。 

定理1：給定任何的可行拍賣機制，總存在一個等價的可行的直接報價機制，可以給seller和所有競拍者帶來與之相同的收益。

（小結：可行拍賣的3個條件：競拍成功的概率非負、競拍者的效用函式非負: 掙的比花的多、激勵相容: 鼓勵說真話）

4 Analysis of the problem

（本節展開拍賣機制的更多屬性，確定具體的競拍標準和計費標準 ）

定義bidder i 在(p, x)的拍賣機制下，當i 的估價是ti 時競拍成功的條件概率為 （公式4.1）：

【個人理解】：條件概率部分可以理解為給定其他競拍者的出價分佈f-i 時。

定理2（公式4.2-4.4）：

【個人理解】：公式4.2適當加強條件即函式Q 是拍賣者i 對商品的估價t 的單調不減函式；同時是f_-i 對競拍者i 對商品的估價t 的單調不減函式（對應有Ui是凸函式）。公式4.3的第1部分即最低價時的收益與成本之差，第2部分的積分為提高競價後的收益 - 增加的支付給平臺的成本（why？）。

證明：基於公式2.8 對vi(t)的假設（即用修正價vi 展開後的方式: vi + (ti - si) 表示），可推出公式3.5的如下等價公式4.6：

即上式的右側為公式4.6 。

將4.6 互換一次si, ti後，可得如下當si<=ti 時（此時公式4.6的第2個因子為非負數）的公式4.2：

進一步推匯出公式4.3： 

個人理解：上式即公式4.3的來源。如果將sigmia 看作積分運算的deltaXi, 則上式上方的不等式的最左側與最右側的式子都可視為做離散值積分時的每個累加因子項，不等式中間的部分即積分的遞迴減運算（簡化形式），上式左側積分的解釋是競拍獲得商品的條件概率在對應的出價上的積分結果，即Qi可看做Ui的導數。

繼續證明定理2中的條件能夠推出公式3.4 和公式4.6，從公式4.3 和公式4.4 即可推出公式3.4，

從公式4.2 和公式4.3 可推出公式4.6如下：

定理3： 假設p: T → R^n 最大化下式 (suppose that p: T→R^n maximizes: 公式4.7 )：

約束條件是公式4.2 和公式3.3。繼續假設（Suppose also that：公式4.8 ）：

那麼，（p, x）代表一個最優拍賣-平臺收益最大（Then (p, x) represents an optimal auction）。

【個人理解】：以上兩個式子即對應廣告服務系統的排序與計費模組。公式4.7 如何體現邊際收益？ 

證明：

基於公式3.2（即平臺收益函式，將其第2個積分部分展開為下式右側的兩個積分之和），有seller's 目標函式（平臺的目標收益） 公式4.9：

將上式4.9右側的最後一個積分求和進行分解，基於定理2有公式4.10 如下：

上式推導中，有fi(ti) 在上下界[ai, bi] 之間的積分=1，同時上式的(1-Fi)*f_-i(*) 即相對於公式4.7 中的f(*)*(1-Fi)/fi(*)。

根據公式2.7 和公式2.8，有公式4.11：  vi(t) - v0(t) = ti - t0 - ei(ti).

將公式4.10和公式411 代入公式4.9 有公式4.12 ：

因而，seller的問題是如何在滿足公式4.2、4.3、4.4、3.3 的約束條件下，最大化公式4.12 。

此時，x只在公式4.12的目標函式的最後一項中出現。

約束條件公式4.3 和4.4 可以重寫為：

因而當seller 按公式4.8 選擇x 時（代入上式等式左側即得內部積分為0），即滿足公式4.3和4.4的約束。既有： 

which is the best possible value for this term in (4.12)。（【個人理解】: 所有競拍者的最低估價時的收益都為0）

因而通過使用公式4.8，我們可以將x 從平臺方的優化問題中去除。而且公式4.12的第2項為獨立於(p, x) 的常數。因而這個目標函式可以簡化為公式4.7，以及公式4.2、公式3.3 對應的約束條件。從而完成了定理3的證明。

推論（收入平衡理論）Corollary(The revenue-Equivalence Theorem):

平臺方seller 在一個可行拍賣機制下的期望收益有概率函式p 和所有競拍者的收益函式Ui(p, x, ai)完全決定。

一旦在某次出價時競拍者（以概率p）獲得了商品,以及每個競拍者在其最低出價時的期望收益，那麼平臺方seller的期望收益不依賴於競拍者的支付函式x。【once we know who gets the object in each possible situation(as specified by p) and how much expected utility each bidder would get if his value estimate were at its lowest possible level ai, then the seller's expected utility from the auction does not depend on the payment function x.】

舉例：平臺方seller在滿足如下兩個條件的拍賣中的期望收益相等：1，由出價最高且該價>t0的拍賣者獲得商品。2，每個競拍者在其估價是最低可能值時對應的期望收益為0. 【(1) the object always goes to the bidder with the highest value estimate above t₀ and (2) every bidder would expect zero utility if his value estimate were at its lowest possible level】。

If the bidders are symmetric and all ei=0 and ai=0, then the Dutch auctions and progressive auctions studied in {11} both have these two properties, so Vickrey's equivalence results may be viewed as a corollary of our equation(4.12). However, we shall see that Vickrey's auctions are not in general optimal for the seller.

5. Optimal auctions in the regular case

按簡單正規假設 (simple regularity assumption)，可以根據定理3 直接設計最優拍賣方案。

We may say that our problem is regular if the function is a monotone strictly increasing function of ti（公式5.1，嚴格單調遞增函式）：

【個人理解】：ci 即公式4.7 中的項。相對於新的排序公式，如何理解其意義（ti代表的範疇可實驗bid、+ctr、+ctr&gmv）？

【補充資料】上式成為實質價值（virtual value）， fi / (1-Fi(ti)) 公式又稱為道德率函式(hazard rate function)。

推導過程：假設seller定了一個價格p，要求拍賣者i按這個價買走或走開，則i買走的概率為1-F(p)，即i的估價超過p的概率，這個購買概率可看成是i的需求概率（需求數量）。其需求曲線可寫為q(p) = 1-F(p), 逆需求曲線為p(q)=F^-1(1-q), 其中q是購買概率或數量。seller的收益函式為: U0=p(q)*q=q*F^-1(1-q)，將其對q求導有： DU0/Dq = 

考慮如下拍賣機制：如果t0>max(ci(ti)) 時不出售（此時對應定理3的公式4.7 的值為負數，即收益未負），否則出售給最大的ci(ti) 的一方。對應的拍賣機制為（公式5.2）：

該拍賣機制下最大化的目標為（即公式4.7的積分公式內的因子）：

對應的約束條件為： sum(pj(t)) <=1,  pi(t) >=0 。因而p 最大化公式4.7 且約束條件為公式3.3 ，為驗證其也滿足公式4.2，需要使用regularity。假設si<ti, then  ci(si) < ci(ti), 那麼如果競拍者i 能夠按估價 si 贏得商品，那麼當他將估價調整為ti 時也可以贏得，也即 pi(t_-i, si) <= pi(t_-i, ti)。那麼給定條件：競拍者i 對商品的估價ti時能贏得商品的概率Qi(p, ti) 是ti 的遞增函式，因而公式4.2 滿足。所以p 滿足定理3 的所有條件。

繼續展開構建最優拍賣的過程，we let x be as in (4.8)（利用公式2.7展開vi）: 

【個人理解】：即出價t時支付的費用為其收益減去 其出價較低時的累計競拍收益之和。

將上式改寫得更直觀一些 如下公式5.3：

 即zi 是給定i 和 t_-i 時所有拍賣贏了的出價的下确界Infimum（Then z is the infimum of all winning bids for i against t _-i）。【個人理解】：該式即競拍者i 不比所有其他競拍者的ci(*) 以及t0的值小時對應的最小出價si。

因而有如下公式5.4、 公式5.5、公式5.6：

公式5.5 即將公式5.4 代入左側的積分項中，且為保證競價成功必須滿足從下确界zi開始。

公式5.6 即公式4.8 的變化後形式（將先按2.7展開，再將公式5.5代入即得）。即競拍者只有在贏得商品時才付費，此時支付的購買價格為 vi(t _-i, zi(t _-i))【個人理解：zi實際值為對應的競拍估價】, the amount which the object would have been worth to him if he had submitted his lowest possible winning bid .

If all the revision effect functions are identically zero (that is, ei(ti) = 0), and if all bidders are symmetric (ai = aj, bi = bj, fi(*) = fj(*)) and regular, then we get （公式5.7）

【個人理解】上式中C的逆函式即當ci(*)=t0 （seller的最低價時）反解出的ti。

此時的最優拍賣為modified Vickrey auction：seller 提交一個競拍價c_i^-1(t0) 即上式的第1個因子，

(notice that all Ci = Cj in this symmetric case, and regularity guarantees that Ci is invertible 正則性保證Ci可逆) ，然後將商品按第2高價賣給出價最高的拍賣者。此時的條件是 the bidders are symmetric and the Ci(*) functions are strictly increasing. 

For example, suppose t0 = 0, each ai = 0, bi = 100, ei(ti) = 0, and fi(ti) = 1/100, for every i and every ti between 0 and 100. Then straightforward computations give us Ci(ti) = 2*ti - 100 【代入公式5.1中化簡得到】, which is increasing in ti. So the seller should sell to the highest bidder at the second highest price, except that he himself should submit a bid of Ci^-1(0) = 0 + 100/2 = 50【按2*ti-100>=0解得對應的t0】, By announcing a reservation price of 50, the seller risks a probability (1/2)^n of keeping the object even though some bidder is willing to pay more than t0 for it; but the seller also increases his expected revenue, because he can command a higher price when the object is sold. 

Thus the optimal auction may not be expost efficient.  如果seller 不設定自己的保底價，則拍賣者較少時容易將拍賣價向下調低到接近於0，這樣seller 的期望收益下降為0，而如果seller設定了保底價50%，則其期望收益不低於25。

when the bidders are asymmetric, the optimal auction may some- times even sell to a bidder whose value estimate is not the highest. 舉例：給定 ei(ti) = 0 and fi(ti) = 1/(bi - ai) （均勻分佈，沒有修改的影響 no revision effects）時有： ci(ti) = 2*ti - bi, 其是ti 的遞增函式。ci(ti) 最大的競拍者贏得商品，如果 bi<bj 那麼競拍者i 即使ti < tj 也可能贏得商品（只要ci > cj）。In effect, the optimal auction discriminates against bidders for whom the upper bounds on the value estimates are higher. This discrimination discourages such bidders from under-representing value estimates close to their high b, bounds（最優拍賣對那些估計價格的上限更高的競拍者有歧視效應，【個人理解：如果某個競拍者對商品的估價上邊界越大，則其在報與其他競拍者相等的ti 時其ci(*) 反而越小，也即鼓勵高估值的競拍者報更高的價格】）. 

6. Optimal auctions in the general case

Without regularity, the auction mecha- nism proposed in the preceding section would not be feasible, since it would violate (4.2)。 

回顧上文中定義的非負f(*) 的累計分佈函式Fi 在定義域[ai, bi] 滿足連續與嚴格單調遞增假設，從而有存在逆函式且滿足連續與嚴格單調遞增。

定義公式6.1 與公式6.2： 

【個人理解】：逆函式hi(q) 的自定義域為[0, 1]，公式6.1即用逆函式的形式代替公式5.1中對應的項後得到。

let Gi:[0,1]->R be the convex hull of the function Hi(*)（Hi函式的凸包） ;  in the notation of Rockafellar ([9, p. 36]) 公式6.3：

That is, Gi(*) is the highest convex function on [0,1] such that Gi(q) < Hi(q) for every q（Hi 為凸函式的性質決定的）。

Gi(*) 是連續可微的凸函式，其導數gi(q) 單獨遞增，且右連續 。

公式6.5： 

( in the regular case when ci(*) is increasing, we get Gi = Hi, gi = hi, and c_i^~ = ci. 【個人理解】最後一個等式為何成立？)

對於任何給定的價值估計向量t, 定義M(t) 為c_i~(ti) 為最大值 且該值大於t0 的競拍者集合 （公式6.6）：

主要結論：在最優拍賣中，商品應該出售給有最高C^~i(ti) 而且比底價t0高的競拍者，稱C^~i(ti) 為當競拍者i 的估計出價為ti 時的優先等級。

定理：

公式6.7、公式6.8：

滿足上式兩組公式時，(p~, x~) 為一種最優拍賣。

（個人理解：公式6.7 體現了只有所有滿足最高C^~i(ti) 的競拍者才等可能獲得該商品，公式6.8體現了支付的價格與競拍成功率相關）

證明：（公式6.9）

由於Gi是Hi在[0, 1]區間裡的凸包，而且Hi是連續的，有Gi(0)=Hi(0), Gi(1)=Hi(1)，因而上式6.9中最後一個表示式的端點值為0。

基於定理3 的公式4.7，結合公式6.9有：

Observe that  p^~  always puts all probability on bidders for whom (c^~_i(ti) - t₀) is nonnegative and maximal. Thus, for any p satisfying (3.3): （公式6.11）

從而p^~ 滿足公式3.3 。

對於任何滿足公式4.3 的p(即Qi(p, ti) 是ti的遞增函式), 有（因為Hi >= Gi）：（公式6.12）

關於p^~ 滿足公式4.2的解釋： 由於Fi 和gi 都是遞增函式，有 c^~_i(ti) 是ti的遞增函式。p^~_i(ti) 在給定的t_-i 時是ti的遞增函式。因而Qi(p^~, ti) 也是ti的遞增函式。記得結果。

凸包(Convex Hull) 函式G有如下性質： G must be flat whenever G < H; 即：如果Gi(r) < Hi(r) 那麼 g'i(r)=G''(r)=0. 因而如果Hi(Fi(ti)) - Gi(Fi(ti)) > 0 那麼c^~_i(ti) 與Qi(p^~, ti) 是ti的臨域裡的常量，因而有：（公式6.13）

將公式6.11、6.12、6.13 代入6.10 既得p^~  maximizes (4.7) subject to (4.2) and (3.3).

舉例：假設只有一個競拍者時的最優拍賣為：

and he should keep the object if the bidder is unwilling to pay this price.

Thus, if bidder i were the only bidder, then the seller would sell the object to i if and only if c^~_i(ti)  were greater than or equal to t0. In other words, c^~_i(ti) is the highest level of t0, the seller's personal value estimate, such that the seller would sell the object to i at a price of ti, or lower, if all other bidders were removed.

7. The independence assmoftion. 

本節列舉在不滿足獨立性假設時的一些可行拍賣機制設計舉例。

假設有2個拍賣這，出價ti 都在10 or 100，且有 Pr(10, 10) = Pr(100, 100) = 1/3, Pr(10, 100) = Pr(100, 10) = 1/6. 此時各拍賣者報價不滿足條件獨立的假設。

有平臺方seller 的拍賣機制為：

p(100, 100) = (1/2, 1/2) = p(10, 10) 

p(10, 100) = (0, 1), p(100, 10) = (1, 0)

x(100, 100) = (50, 50), x(10, 10) = (-10, -10)  #  說明：此處的收益為平臺方對競拍者收的收益；報價都為10時seller兩個競拍者各補償10個貨幣。

x(10, 100) = (30, 100), x(100, 10) = (100, 30) # 此時seller將商品出售給報價最高的競拍者，並收報低價的拍賣者30個貨幣。競拍者報價10個貨幣時與seller 有一種單邊賭約 side-bit 的性質，此時另一個競拍者有1/3的概率報100（競拍者的收益為-10）而2/3的概率報10（競拍者的收益為10），故對真實報價為10的競拍者的期望收益為 0；如果其採取欺騙報價報為10(對應真實價值為100)，則其期望收益為 (-30)*2/3+10*1/3<0，故真實報價滿足納什均衡。

平臺方的期望收益為： U0(p, x) = 100*1/3 + 130*1/6 + 130*1/6 + (-20)*1/3 = 70。

該拍賣機制可行的原因：1 seller將商品出售給報價最高的競拍者。2 保證激勵相容，競拍者真實報價是一種納什均衡。具體機制滿足競拍者出真實報價時的期望收益為0，出欺騙報價時的期望收益為負的。注意前提為競拍者對風險中立 (risk-neutrality) 的前提下。

注意該機制下兩個競拍者同時報低價10 時一種第二均衡 second equilibrium。

（對競拍者對風險厭惡 risk-averse  時，最優拍賣不一定如此極端[有效?]）

注意該例子中，拍賣方有是會向競拍者支付貨幣。如果不這樣，則拍賣就不能達到最優狀態。

8. Implementation. 

關於最優拍賣實現的討論：一旦fi 和 ei 的函式確定後，實施本文中的最優化拍賣需要做的是計算C^~i 以及evalute 公式6.8。

考慮一下敏感性分析(sensitivity analysis), 公式6.8 保證對於的拍賣機制是可行的，由於密度函式fi 沒有在公式6.8中，所以該機制即使在競拍者看來概率密度函式不恰當的情況，仍然滿足個體例行約束、激勵相容約束。同時由於修正效應函式ei 在公式6.8中，所以如果在上設計ei函式時有錯誤，可能會激勵競拍者不誠實報價。

由於拍賣機制設計本身處在充滿不確定性的市場環境中，不可能保證平臺方的商品價值在如何的市場環境下都能實現。

Reference：

VCG 二價拍賣模式時，講真話是最優策略，所有的投標人都會顯示他對拍賣物的真實評價。因為中標者沒有價格影響力。最有名的衍生是eBay的競價代理(Proxy bidding)拍賣，除了不是密封式拍賣。

一些缺點：1，未中標者結盟。2，不能避免一個投標人用多個身份投標的行為；3，難以避免買方串謀互相調低價格。4 賣方僱傭托兒擡價。5，不一定最大化賣方利潤。