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由頂點坐標計算任意多邊形面積

阿新 • • 發佈：2019-02-17
class mage tro 順時針 面積 因此 習題 show hdu2036

我們知道，如果三角形的一個頂點在原點，另兩點A（x1 , y1）和B（x2 , y2）

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則其面積可以表示為
SABC =0.5× |OA|×|OB|×sin（∠AOB）
=0.5×|OA×OB|
=0.5×|(x1,y1)×(x2,y2)|
=0.5×[(x1y2)-(y1x2)]

以下圖中的三角形ABC為例，欲求SABC

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從原點，將ABC以向量形式表示

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因此SABC = SOBC-SOAC-SOAB
=SABC = SOBC + (-SOAC) + (-SOAB)

這樣直接求ABC的面積轉化為了求三個部分三角形的面積和，而分割出來的每個三角形的都有一個頂點為原點，且另外兩個點信息均已知。

由於存在逆時針計算或者順時針計算頂點的問題，所以上式中的正負號代表了正面積和反面積，不過不需要特別考慮，因為總大小是一樣的，只需要求絕對值即可。

所以上述三角形面積
SABC=0.5×|(x1y2-x2y1)+(x2y3-y2x3)+(x3y1-y3x1)|

擴展到多邊形
S = 0.5×|(x1y2-x2y1)+(x2y3-y2x3)+(x3y4-y3x4) + ...... + (xny1-ynx1)|

對於凹多邊形也適用，凹陷的部分會被計算為負面積被減掉。

練習題：(HDU2036)[http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2036]

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