幾種演算法思想
1、遞迴法
所謂遞迴，就是指如果需要求解當前狀態就需要求解其依賴的遷移狀態。
一般來說，遞迴需要有邊界條件、遞迴前進段和遞迴返回段。當邊界條件不滿足時，遞迴前進；當邊界條件滿足時，遞迴返回。
採用遞迴描述的演算法通常有這樣的特徵：
1）為求解規模為N的問題，設法將它分解成規模較小的問題；
2）然後從這些小問題的解方便地構造出大問題的解，並且這些規模較小的問題也能採用同樣的分解和綜合方法，分解成規模更小的問題，並從這些更小問題的解構造出規模較大問題的解。
3）這樣的分解方法具有收斂性。即存在一個遞迴返回狀態。
例1.1 求最大公約數--歐幾里德演算法
2、窮舉法
所謂窮舉法就是遍歷所有可能的狀態。
例如：密碼的暴力破解法就是採用這種方法。
3、化歸法
所謂化歸法是指，不直接解決原問題，而是把所要解決的問題，經過某種變化，使之歸結為另一個（問題*），再通過（問題*）的求解，把解得結果作用於原有問題，從而使原有問題得解。
化歸的原則是以已知的、簡單的、具體的、特殊的、基本的知識為基礎，將未知的化為已知的，複雜的化為簡單的，抽象的化為具體的，一般的化為特殊的，非基本的化為基本的，從而得出正確的解答．
此在數學上的應用非常常見。同時，一個邏輯問題的解決的一些列子步驟不正是化歸法的體現嗎？
4、迭代法
迭代法也稱輾轉法，是一種不斷用變數的舊值遞推新值的過程。
最常見的迭代法是牛頓法。其他還包括最速下降法、共軛迭代法、變尺度迭代法、最小二乘法、線性規劃、非線性規劃、單純型法、懲罰函式法、斜率投影法、遺傳演算法、模擬退火等等。
利用迭代演算法解決問題，需要做好以下三個方面的工作：
1）迭代變數：在可以用迭代演算法解決的問題中，至少存在一個直接或間接地不斷由舊值遞推出新值的變數，這個變數就是迭代變數。
2）迭代關係：指如何從變數的前一個值推出其下一個值的公式（或關係）。迭代關係式的建立是解決迭代問題的關鍵，通常可以使用遞推或倒推的方法來完成。
3）迭代過程：迭代過程的控制通常可分為兩種情況：一種是所需的迭代次數是個確定的值，可以計算出來；另一種是所需的迭代次數無法確定。對於前一種情況，可以構建一個固定次數的迴圈來實現對迭代過程的控制；對於後一種情況，需要進一步分析出用來結束迭代過程的條件。
迭代法都可以轉為遞迴法。迭代法可以理解為具有遞迴性質的非遞迴解法。當然，非遞迴解法還可利用棧的思想。
例4.1 兔子數量問題
描述：一個飼養場引進一隻剛出生的新品種兔子，這種兔子從出生的下一個月開始，每月新生一隻兔子，新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去，問到第 12 個月時，該飼養場共有兔子多少隻？
分析： 這是一個典型的遞推問題。我們不妨假設第 1 個月時兔子的只數為 u 1 ，第 2 個月時兔子的只數為 u 2 ，第 3 個月時兔子的只數為 u 3 ，……根據題意，“這種兔子從出生的下一個月開始，每月新生一隻兔子”，則有
u 1 ＝ 1 ， u 2 ＝ u 1 ＋ u 1 × 1 ＝ 2 ， u 3 ＝ u 2 ＋ u 2 × 1 ＝ 4 ，……
根據這個規律，可以歸納出下面的遞推公式：
u n ＝ u( n － 1 )× 2 (n ≥ 2)
5、分治法
所謂分治法，就是分而治之。將一個問題分解為多個規模較小的子問題，這些子問題互相獨立並與原問題解決方法相同。遞迴解這些子問題，然後將這各子問題的解合併得到原問題的解。
適用問題的特徵：
- 該問題的規模縮小到一定的程度就可以容易地解決
- 該問題可以分解為若干個規模較小的相同問題，即該問題具有最優子結構性質。所謂最優子結構是指：問題的最優解所包含的子問題的解也是最優的。
- 該問題所分解出的各個子問題是相互獨立的，即子問題之間不包含公共的子問題
一般實現步驟：分解--->遞迴求解--->合併
例5.1 河內塔問題
例5.2 歸併排序
6、動態規劃
將待求解問題分解成若干個子問題，但是經分解得到的子問題往往不是互相獨立的，如果能夠儲存已解決的子問題的答案，而在需要時再找出已求得的答案，就可以避免大量重複計算。
適合問題的特徵：
- 在遞迴計算中，許多子問題將被重複計算多次
- 具有最優子結構性質。所謂最優子結構是指：問題的最優解所包含的子問題的解也是最優的。即滿足最優化原理。
解決步驟：
1）找出最優解性質，劃分子問題
2）遞迴的定義每階段最優值
3）遞迴計算最優值
4）根據計算最優值時得到的資訊，構造最優解
例6.1 求最長公共子串
例6.2 0-1揹包問題
7、貪心演算法
動態規劃是貪心演算法的基礎。貪心演算法是通過做一系列的選擇來給出某一問題的最優解。對演算法中的每一個決策點，做一個當時（看起來是）最佳的選擇。這種啟發式策略並不總是能產生出最優解。
一般步驟：
1）決定問題的最優子結構
2）設計出一個遞迴解
3）證明在遞迴的任一階段，最優選擇之一總是貪心選擇。那麼，做貪心選擇總是安全的。
4）證明通過做貪心選擇，所有子問題（除一個以外）都為空。
5）設計出一個實現貪心策略的遞迴演算法。
6）將遞迴演算法轉換成迭代演算法。
通常直接做出貪心選擇來構造子結構，以產生一個待優化解決的子問題。更一般地，可以根據以下步驟設計貪心演算法：
1）將優化問題轉化成一個這樣的問題，即先做出選擇，再解決剩下的一個子問題。
2）證明原問題總是有一個最優解是做貪心選擇得到的，從而說明貪心選擇是安全的。
3）說明在做出貪心選擇後，剩餘的子問題具有這樣的一個性質。即如果將子問題的最優解和我們所作的貪心選擇聯合起來，可以得出原問題的一個最優解。
貪心選擇性質：一個全域性最優解可以通過區域性最優（貪心）選擇來達到。換句話說，當考慮做如何選擇時，我們只考慮對當前問題的選擇而不考慮子問題的結果。
在動態規劃中，每一步都要做出選擇，但是這些選擇依賴於子問題的解。因此，解動態規劃問題一般是自底向上，從小子問題處理至大子問題。在貪心演算法中，我們所做的總是當前看似最佳的選擇，然後再解決選擇之後的所出現的子問題。貪心演算法所作的當前選擇可能要依賴與已經作出的選擇，但不依賴於有待於做出的選擇或子問題的解，因此貪心策略通常是自頂向下地做的，一個一個地做出貪心選擇，不斷地將給定的問題例項歸約為更小的問題。
最優子結構：對一個問題來說，如果它的一個最優解包含了其子問題的最優解，則稱該問題具有最優子結構。
例7.1 部分揹包問題
描述：把一系列的物品放入總量限制的包裡，要求價值最大。但是物品可以分割為一部分。
8、回溯法
回溯法也稱試探法，它的基本思想是：從問題的某一種狀態（初始狀態）出發，搜尋從這種狀態出發所能達到的所有“狀態”，當一條路走到“盡頭”的時候（不能再前進），再後退一步或若干步，從另一種可能“狀態”出發，繼續搜尋，直到所有的“路徑”（狀態）都試探過。這種不斷“前進”、不斷“回溯”尋找解的方法，就稱作“回溯法”。
用回溯演算法解決問題的一般步驟為： 一、定義一個解空間，它包含問題的解。 二、利用適於搜尋的方法組織解空間。
三、利用深度優先法搜尋解空間。
四、利用限界函式避免移動到不可能產生解的子空間。問題的解空間通常是在搜尋問題的解的過程中動態產生的，這是回溯演算法的一個重要特性
回溯法是一個既帶有系統性又帶有跳躍性的的搜尋演算法。它在包含問題的所有解的解空間樹中，按照深度優先的策略，從根結點出發搜尋解空間樹。演算法搜尋至解空間樹的任一結點時，總是先判斷該結點是否肯定不包含問題的解。如果肯定不包含，則跳過對以該結點為根的子樹的系統搜尋，逐層向其祖先結點回溯。否則，進入該子樹，繼續按深度優先的策略進行搜尋。回溯法在用來求問題的所有解時，要回溯到根，且根結點的所有子樹都已被搜尋遍才結束。而回溯法在用來求問題的任一解時，只要搜尋到問題的一個解就可以結束。這種以深度優先的方式系統地搜尋問題的解的演算法稱為回溯法，它適用於解一些組合數較大的問題。
9、分支限界法
分支限界 (branch and bound) 演算法是一種在問題的解空間樹上搜索問題的解的方法。但與回溯演算法不同，分支定界演算法採用廣度優先或最小耗費優先的方法搜尋解空間樹，並且，在分支定界演算法中，每一個活結點只有一次機會成為擴充套件結點。利用分支定界演算法對問題的解空間樹進行搜尋，它的搜尋策略是：
1 ．產生當前擴充套件結點的所有孩子結點；
2 ．在產生的孩子結點中，拋棄那些不可能產生可行解（或最優解）的結點；
3 ．將其餘的孩子結點加入活結點表；
4 ．從活結點表中選擇下一個活結點作為新的擴充套件結點。如此迴圈，直到找到問題的可行解（最優解）或活結點表為空。
分支限界法的思想是：首先確定目標值的上下界，邊搜尋邊減掉搜尋樹的某些支，提高搜尋效率。
例9.1 旅行商問題
問題描述：給定n個城市，有一個旅行商從某一城市出發，訪問每個城市各一次後再回到原出發城市，要求找出的巡迴路徑最短。