01揹包問題吐血詳解
揹包問題我真是學一次忘一次，很多dp問題也是由這個衍生而來，今天終於痛下決心寫個部落格供自己日後參考
問題描述：
有N件物品和一個容量為V的揹包。第i件物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。
基本思路 ：
這是最基礎的揹包問題，特點是：每種物品僅有一件，可以選擇放或不放。 用子問題定義狀態：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一個容量為v的揹包可以獲得的最大價值。則其狀態轉移方程便是：tab[i][j] = max(tab[i-1][j-weight[i]]+value[i],tab[i-1][j])
({i,j|0<i<=n,0<=j<=total})
其中i表示放第i個物品，j表示揹包所容納的重量，那麼tab[i-1][j-weight[i]]+value[i]表示放入第i物品，剛開始接觸會有疑問，tab[i-1][j-weight[i]]這個值，可以這樣理解：tab[i-1][j]為裝到上一個物品在揹包j容量時的最佳值，那麼如果我要求在j容量的時候放入現在的i物品的價值，那麼是不是要先得到容量為（j-weight[i]）時候的價值，即先得到 tab[i-1][j-weight[i]] ，所以
tab[i-1][j-weight[i]]+value[i] 為放入第i物品的價值； tab[i-1][j] 就是不放入第i個物品。
例子：5個物品，（重量，價值）分別為：（5，12），（4，3），（7，10），（2，3），（6，6）。
|
揹包容量 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
5物品 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
6 |
12 |
12 |
15 |
15 |
18 |
22 |
22 |
25 |
25 |
|
4物品 |
0 |
0 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
12 |
12 |
15 |
15 |
18 |
22 |
22 |
25 |
25 |
|
3物品 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
12 |
12 |
15 |
15 |
15 |
22 |
22 |
22 |
22 |
|
2物品 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
12 |
12 |
12 |
12 |
15 |
15 |
15 |
15 |
15 |
15 |
15 |
|
1物品 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
12 |
12 |
12 |
12 |
12 |
12 |
12 |
12 |
12 |
12 |
12 |
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
for(int j = 0; j <= W; j++)
{
if(j < w[i]) dp[i][j] = dp[i-1][j];
else dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - w[i]] + v[i]);
}
}優化空間複雜度：
以上方法的時間和空間複雜度均為O(VN)，其中時間複雜度應該已經不能再優化了，但空間複雜度卻可以優化到O(V)
先考慮上面講的基本思路如何實現，肯定是有一個主迴圈i=1..N，每次算出來二維陣列f[i][0..V]的所有值。那麼，如果只用一個數組f[0..V]，能不能保證第i次迴圈結束後f[v]中表示的就是我們定義的狀態f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]兩個子問題遞推而來，能否保證在推f[i][v]時（也即在第i次主迴圈中推f[v]時）能夠得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢？事實上，這要求在每次主迴圈中我們以v=V..0的順序推f[v]，這樣才能保證推f[v]時f[v-c[i]]儲存的是狀態f[i-1][v-c[i]]的值。如果將v的迴圈順序從上面的逆序改成順序的話，那麼則成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知，與本題意不符，但它卻是另一個重要的揹包問題P02最簡捷的解決方案，故學習只用一維陣列解01揹包問題是十分必要的。
虛擬碼如下：
for i=1..N
for v=V..0
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
畫個圖給大家演示下
也就是說此時的f[v],f[v-c[i]]是前面的
假設體積是10
揹包體積----->>>>>
|
價值 |
大小 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
||||||||||||
|
2 |
1 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
放 |
第 |
一 |
個 |
物 |
品 |
||||||
|
1 |
2 |
2 |
2 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
放 |
第 |
二 |
個 |
||||||||
|
5 |
3 |
2 |
2 |
3 |
3 |
3 |
8 |
8 |
8 |
8 |
8 |
||||||||||||
|
4 |
4 |
2 |
2 |
3 |
3 |
3 |
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