python之斐波那契青蛙跳臺階、矩陣覆蓋問題優化

題目描述：

（1）一隻青蛙一次可以跳上 1 級臺階，也可以跳上2 級。求該青蛙跳上一個n 級的臺階總共有多少種跳法。

（2）一隻青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2 級……它也可以跳上n 級，此時該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法？

問題一，簡單分析可以得到一個斐波那契問題，解決方案有迭代和遞迴，還有在python中還可以用匿名函式，幾種實現如下：

def fib(n):
    """
    迭代斐波那契
    """
    if type(n) != int or n <= 0:
        return
    a, b = 0
 
, 1
    for _ in range(n):
        a, b = b, a+b
    return b

def fib_1(n):
    """
    遞迴斐波那契
    """
    if type(n) != int or n <= 0:
        return
    if n <= 2:
        return n
    return fib_1(n-1) + fib_1(n-2)

# 匿名斐波那契
fib_2 = lambda n:n if n <=2 else fib_2(n-1)+fib_2(n-2)

遞迴用的是將中間結果壓棧的方式，所以效能相對較差，建議用迭代

類似問題（矩形覆蓋）：我們可以用2*1的小矩形橫著或者豎著去覆蓋更大的矩形。請問用n個2*1的小矩形無重疊地覆蓋一個2*n的大矩形，總共有多少種方法？（第一塊放在邊上，可以橫著放或者豎著放，對應的方法為f(n-1)+f(n-2)，所以仍為斐波那契數列問題）

問題二分析：
設跳n級有f(n)種方法，
則第一步可以選擇跳1.2.3…n級，
則接下來有f(n-1).f(n-2).f(n-3)…f(1),
由此可見f(n)=f(1)+…+f(n-1)+1=2^(n-1)，
即求2的n-1次方。

問題到此就得以解決了~

但是！光是這樣解決問題，並不是最好的解決方法。
當n很大的時候，如何解決？對於乘法如何優化？

這裡給出兩個優化思路：
1. 分治思想
2. 利用位計算代替乘除運算，以提高效率

因此，優化後的解決方案如下：

def power_2(n):
    if type(n) != int or n <= 0:
        return
    if n == 1:
        return 2
    result = power_2_2(n>>1)
    result *= result
    if 1 == n&1:
        # 判斷奇偶
        result = result<<1
    return result

此問題可以擴充套件為求任何數（整數、小數、0）的整數次方（包括0和負數）
優化方案都類似，就不再贅述了

以上為本文全部內容，歡迎指正和交流~